Exercício 18 O diâmetro de uma partícula de contaminação (em micrômetros) é modelado pela função densidade de probabilidade
Determine
Passo 1
O enunciado dá a função densidade de probabilidade
e pede para determinar
. Informações relevantes que temos:
- A função
vale apenas para ; para a densidade é (isso está implícito pelo enunciado). - A probabilidade pedida é a probabilidade de a variável aleatória
assumir um valor maior que , ou seja .
Nada mais será assumido; vamos usar apenas essas informações.
Passo 2
O que significa calcular
quando
é uma variável contínua com densidade
? Significa calcular a área sob a curva
para
de
até
. Em termos de integral,
Isto vem da definição de probabilidade para variáveis contínuas: a probabilidade de
cair em um intervalo
é
. Para
usamos os limites apropriados.
Passo 3
Antes de integrar, é bom checar rapidamente que
é de fato uma densidade válida (ou seja, que integra para
no suporte). Calculamos
Isto é uma integral imprópria; vamos calcular a antiderivada e depois avaliar o limite.
Passo 4
Para integrar uma potência de
usamos a regra básica:
Aqui temos
, então
Multiplicando por
(porque a densidade é
),
Portanto a antiderivada de
é
.
Passo 5
Agora avaliamos a probabilidade pedida como integral imprópria:
Avaliaremos os extremos:
e
Substituindo:
Como referência numérica, isto é
.
Passo 6
Interpretação rápida e dica para a prova:
significa que há
de chance de uma partícula ter diâmetro maior que
micrômetros. Em geral, para problemas desse tipo você sempre:
- identifica o suporte da densidade,
- escreve a integral no intervalo desejado,
- encontra a antiderivada usando a regra da potência,
- avalia limites no caso de intervalos ilimitados.