Exercício 18 O diâmetro de uma partícula de contaminação (em micrômetros) é modelado pela função densidade de probabilidade
f(x)=\frac{2}{x^{3}}, \quad x>1
Determine P(X>5)

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade
f(x)=\frac{2}{x^{3}},\quad x>1,
e pede para determinar P(X>5). Informações relevantes que temos:
  • A função f(x) vale \frac{2}{x^{3}} apenas para x>1; para x\le 1 a densidade é 0 (isso está implícito pelo enunciado).
  • A probabilidade pedida é a probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor maior que 5, ou seja P(X>5).
    Nada mais será assumido; vamos usar apenas essas informações.

Passo 2

O que significa calcular P(X>5) quando X é uma variável contínua com densidade f? Significa calcular a área sob a curva f(x) para x de 5 até +\infty. Em termos de integral,
P(X>5)=\int_{5}^{\infty} f(x)\,dx.
Isto vem da definição de probabilidade para variáveis contínuas: a probabilidade de X cair em um intervalo (a,b) é \int_{a}^{b} f(x)\,dx. Para (5,\infty) usamos os limites apropriados.

Passo 3

Antes de integrar, é bom checar rapidamente que f é de fato uma densidade válida (ou seja, que integra para 1 no suporte). Calculamos
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{1}^{\infty}\frac{2}{x^{3}}\,dx.
Isto é uma integral imprópria; vamos calcular a antiderivada e depois avaliar o limite.

Passo 4

Para integrar uma potência de x usamos a regra básica:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\quad\text{para }n\neq -1.
Aqui temos n=-3, então
\int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^{2}}.
Multiplicando por 2 (porque a densidade é 2x^{-3}),
\int \frac{2}{x^{3}}\,dx=2\left(-\frac{1}{2x^{2}}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Portanto a antiderivada de f(x) é -\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Agora avaliamos a probabilidade pedida como integral imprópria:
P(X>5)=\int_{5}^{\infty}\frac{2}{x^{3}}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{5}^{b}\frac{2}{x^{3}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x^{2}}\right]_{x=5}^{x=b}.
Avaliaremos os extremos:
\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{b^{2}}\right)=0
e
-\frac{1}{5^{2}}=-\frac{1}{25}.
Substituindo:
P(X>5)=0-\left(-\frac{1}{25}\right)=\frac{1}{25}.
Como referência numérica, isto é \,0,04.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para a prova: P(X>5)=\dfrac{1}{25} significa que há 4\% de chance de uma partícula ter diâmetro maior que 5 micrômetros. Em geral, para problemas desse tipo você sempre:
  1. identifica o suporte da densidade,
  2. escreve a integral no intervalo desejado,
  3. encontra a antiderivada usando a regra da potência,
  4. avalia limites no caso de intervalos ilimitados.

Resposta

\dfrac{1}{25}=0,04

Exercícios relacionados