Exercício 8 Um teste de múltipla escolha é composto por 25 questões, cada uma com quatro opções de resposta, sendo apenas uma correta. Suponha que um aluno chute todas as questões.
Qual é o número mais provável de questões que o aluno acerta?

Passo 1

O enunciado diz: um teste tem 25 questões, cada uma com 4 alternativas, só uma correta. Um aluno chuta todas as questões. Pergunta: qual é o número mais provável de acertos?
Informações relevantes: n=25 é o número de questões; a probabilidade de acertar uma questão ao chutar é p=\tfrac{1}{4}; o aluno faz 25 tentativas independentes (cada chute é independente).

Passo 2

Modelagem probabilística e objetivo. Vamos chamar X o número de acertos do aluno. Quando temos n tentativas independentes com probabilidade p de sucesso em cada uma, X segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de obter exatamente k acertos é
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} (lido "combinatório de n escolhe k") conta de quantas maneiras podemos escolher as k questões corretas entre n.

Passo 3

O que queremos é o valor de k que maximiza P(X=k): esse k é chamado de moda da binomial (o número mais provável de acertos). Vamos encontrar o k que torna P(X=k) máximo.

Passo 4

Estratégia para achar a moda: comparar probabilidades adjacentes. Se P(X{k+1})\ge P(X{k}), então a sequência de probabilidades está crescendo nesse ponto; se P(X{k+1})<P(X{k}), está diminuindo. Assim, podemos estudar a razão
\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{\binom{n}{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}}.
Simplificando a razão com a identidade \dfrac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}=\dfrac{n-k}{k+1}, obtemos
\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}.

Passo 5

A condição de crescimento P(X=k+1)\ge P(X=k) se torna
\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}\ge 1.
Multiplicando e rearranjando (passo a passo):
(n-k)p \ge (k+1)(1-p),
np - kp \ge k+1 - (k+1)p,
os termos em -kp cancelam dos dois lados, sobrando
np + p \ge k+1,
ou seja
k \le np + p - 1=(n+1)p - 1.
Isso significa: à medida que k aumenta a partir de 0, as probabilidades P(X=k) crescem enquanto k satisfaz k\le (n+1)p -1; o pico (a moda) acontece no menor inteiro maior que esse ponto, isto é no k igual a \lfloor (n+1)p\rfloor, salvo o caso especial em que (n+1)p é inteiro (nesse caso há duas modas: (n+1)p-1 e (n+1)p, com probabilidades iguais).

Passo 6

Aplicando ao nosso caso: n=25 e p=\tfrac{1}{4}. Calculemos
(n+1)p = 26\cdot\frac{1}{4}=6{,}5.
Esse valor não é inteiro, portanto existe uma moda única dada por
\lfloor (n+1)p\rfloor = \lfloor 6{,}5\rfloor = 6.

Passo 7

Verificação rápida (numérica, para dar confiança): podemos checar a razão entre probabilidades vizinhas para k=5 e k=6:
\frac{P(X=6)}{P(X=5)}=\frac{25-5}{6}\cdot\frac{1/4}{3/4}=\frac{20}{6}\cdot\frac{1}{3}=\frac{10}{9}>1,
logo P(X=6)>P(X=5). Para k=6\to7:
\frac{P(X=7)}{P(X=6)}=\frac{25-6}{7}\cdot\frac{1}{3}=\frac{19}{21}<1,
logo P(X=7)<P(X=6). Assim k=6 é realmente o pico.

Resposta

6

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