Exercício 8 Um teste de múltipla escolha é composto por 25 questões, cada uma com quatro opções de resposta, sendo apenas uma correta. Suponha que um aluno chute todas as questões.
Qual é o número mais provável de questões que o aluno acerta?
Qual é o número mais provável de questões que o aluno acerta?
Passo 1
O enunciado diz: um teste tem
questões, cada uma com
alternativas, só uma correta. Um aluno chuta todas as questões. Pergunta: qual é o número mais provável de acertos?
Informações relevantes: é o número de questões; a probabilidade de acertar uma questão ao chutar é
; o aluno faz
tentativas independentes (cada chute é independente).
Informações relevantes:
Passo 2
Modelagem probabilística e objetivo. Vamos chamar
o número de acertos do aluno. Quando temos
tentativas independentes com probabilidade
de sucesso em cada uma,
segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de obter exatamente
acertos é
onde
(lido "combinatório de
escolhe
") conta de quantas maneiras podemos escolher as
questões corretas entre
.
Passo 3
O que queremos é o valor de
que maximiza
: esse
é chamado de moda da binomial (o número mais provável de acertos). Vamos encontrar o
que torna
máximo.
Passo 4
Estratégia para achar a moda: comparar probabilidades adjacentes. Se
, então a sequência de probabilidades está crescendo nesse ponto; se
, está diminuindo. Assim, podemos estudar a razão
Simplificando a razão com a identidade
, obtemos
Passo 5
A condição de crescimento
se torna
Multiplicando e rearranjando (passo a passo):
os termos em
cancelam dos dois lados, sobrando
ou seja
Isso significa: à medida que
aumenta a partir de
, as probabilidades
crescem enquanto
satisfaz
; o pico (a moda) acontece no menor inteiro maior que esse ponto, isto é no
igual a
, salvo o caso especial em que
é inteiro (nesse caso há duas modas:
e
, com probabilidades iguais).
Passo 6
Aplicando ao nosso caso:
e
. Calculemos
Esse valor não é inteiro, portanto existe uma moda única dada por
Passo 7
Verificação rápida (numérica, para dar confiança): podemos checar a razão entre probabilidades vizinhas para
e
:
logo
. Para
:
logo
. Assim
é realmente o pico.