Exercício 12. Um óleo comestível contém uma substância nociva na concentração de 0,02 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, que pode ser adsorvida em carvão ativo. A isoterma de adsorção é da forma: m=m_{\text {máx }} c /(1+k c)á, onde m é a massa, em gramas, da substância adsorvida por grama de carvão; m_{\text {máx }}=0,01á g de adsorvato / \mathrm{g} de carvão, \mathrm{k}=10^{3} \mathrm{~L} / \mathrm{g} e c a concentração de equilíbrio, em \mathrm{g} / \mathrm{L}. Qual a massa de carvão necessária para purificar um litro de óleo, reduzindo a concentração da substância a 0,02 \times 10^{-3} \mathrm{~g} / \mathrm{L} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa bem objetiva: reduzir a concentração da substância nociva em 1 litro de óleo usando carvão ativo. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Concentração inicial: } c_0 = 0,02\\ \mathrm{g/L},\\\ &\text{Concentração desejada (equilíbrio): } c_e = 0,02\times10^{-3}\\ \mathrm{g/L},\\\ &\text{Isoterma de adsorção: } m = \frac{m_{\text{máx}}\,c}{1+kc},\\\ &\text{com } m_{\text{máx}} = 0,01\\ \mathrm{g\\ adsorvato/g\\ carvão},\\\ &\qquad k = 10^{3}\\ \mathrm{L/g},\\\ &\text{Volume do óleo a purificar: } V = 1\\ \mathrm{L}. \end{aligned}çãçãíçãááãó
O que precisamos encontrar: a massa de carvão M (em gramas ou kg) necessária para que, após equilíbrio, a concentração do líquido fique em c_e.

Passo 2

Entendendo a isoterma e as unidades (aula mini):
  • A isoterma dada relaciona m e c:
m=\frac{m_{\text{máx}}\,c}{1+kc}.á
  • Aqui m é a massa de adsorvato (a substância nociva) adsorvida por grama de carvão (unidade: \mathrm{g\\ adsorvato/g\\ carvão}ã).
  • m_{\text{máx}}á é a capacidade máxima de adsorção por grama de carvão (mesma unidade que m).
  • k tem unidade \mathrm{L/g} de modo que o produto kc é adimensional (pois c está em \mathrm{g/L}).
  • Em palavras: para uma concentração de equilíbrio c no líquido, cada grama de carvão terá adsorvido m\text{(c)} gramas da substância.

Passo 3

Balanço de massa (como montar na prova):
  • A quantidade total inicial de poluente em V litros é V c_0 (em gramas).
  • Após adsorção, a quantidade que permanece em solução é V c_e.
  • Portanto a quantidade adsorvida pelo carvão é
\text{adsorvido total} = V(c_0 - c_e).
  • Se usarmos M gramas de carvão e cada grama adsorve m(c_e), então
\text{adsorvido total} = M\,m(c_e).
  • Igualando as duas expressões obtemos a fórmula para M:
M = \frac{V(c_0 - c_e)}{m(c_e)}.
Essa é a relação que vamos usar. Nota: aqui assumimos mistura suficiente para que atinja equilíbrio com concentração final c_e.

Passo 4

Calcular m(c_e) substituindo na isoterma (conta passo a passo):
  • Primeiro calcule c_e em forma simples:
c_e = 0,02\times10^{-3} = 2\times10^{-5}\\ \mathrm{g/L}.
  • Agora calcule 1+kc_e:
1 + k c_e = 1 + 10^{3}\times(2\times10^{-5}) = 1 + 0,02 = 1,02.
  • Calcule m(c_e) pela isoterma:
m(c_e)=\frac{m_{\text{máx}}\,c_e}{1+kc_e}=\frac{0,01\times(2\times10^{-5})}{1,02}=\frac{2\times10^{-7}}{1,02}.á
  • Simplificando numericamente:
m(c_e)=1,9607843137\times10^{-7}\\ \mathrm{g\\ adsorvato/g\\ carvão}\approx1,96\times10^{-7}.ã

Passo 5

Calcular o numerador V(c_0-c_e):
  • Como V=1\\ \mathrm{L},
V(c_0-c_e)=1\cdot(0,02-2\times10^{-5})=0,01998\\ \mathrm{g}.
Essa é a massa de poluente que precisamos retirar de 1 L de óleo.

Passo 6

Calcular M usando a fórmula do Passo 3:
M=\frac{V(c_0-c_e)}{m(c_e)}=\frac{0,01998}{1,9607843137\times10^{-7}}.
Fazendo a divisão:
M\approx1,0199999999\times10^{5}\\ \mathrm{g}\approx1,02\times10^{5}\\ \mathrm{g}.
Convertendo para quilogramas:
M\approx102\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo:
  • O resultado mostra que é necessário uma massa de carvão muito grande (da ordem de cem quilos) para reduzir a concentração daquele lote de 1 L de óleo a um nível tão baixo dada a isoterma e parâmetros fornecidos. É um resultado físico plausível: se a capacidade de adsorção por grama é muito pequena no c_e considerado, precisa-se de muito carvão.
  • Você conseguiu! Foi só organizar o balanço de massa e aplicar a isoterma. Respira — e confere outra vez os cálculos se a prova pedir valores arredondados.

Resposta

M\approx1,02\times10^{5}\\ \mathrm{g}=102\\ \mathrm{kg}

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