Exercício 9. A isoterma de Freundlich pode ser escrita como \mathrm{V}_{\mathrm{A}}=\mathrm{K} \cdot \mathrm{P}^{1 / \mathrm{n}}, onde K e n são constantes, V_{A} o volume de gás adsorvido por unidade de massa de adsorvente, medido nas CNTP, e P a pressão de equilíbrio. Os dados da tabela abaixo correspondem à adsorção de metano sobre 10 g de carvão a 0^{\circ} \mathrm{C}.
\mathbf{P}(\mathbf{m m H g}) 100 200 300 400
\mathbf{V}_{\mathbf{A}}\left(\mathbf{c m}^{\mathbf{3}} / \mathbf{g}\right) 97,5 144 182 214
Mostrar que essa adsorção segue a isoterma de Freundlich e determinar os valores das constantes da isoterma.

Passo 1

O enunciado fornece a isoterma de Freundlich na forma
V_{A}=K\cdot P^{1/n},
onde K e n são constantes, V_{A} é o volume adsorvido por unidade de massa e P é a pressão de equilíbrio. Os dados fornecidos são (retirei diretamente a tabela do enunciado):
P (mmHg): 100,\;200,\;300,\;400.
V_{A} (cm ^3/g): 97,5,\;144,\;182,\;214.
O que o problema pede: mostrar que os dados seguem a isoterma de Freundlich e determinar numericamente as constantes K e n.

Passo 2

Estratégia didática (a ideia matemática que vamos usar): se a isoterma é
V_{A}=K\cdot P^{1/n},
tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos uma relação linear entre \ln V_{A} e \ln P:
\ln V_{A}=\ln K + \frac{1}{n}\,\ln P.
Definimos
x=\ln P,\qquad y=\ln V_{A},
e então esperamos uma reta
y = a + b x
com
a=\ln K,\qquad b=\frac{1}{n}.
Para ajustar uma reta aos pontos (x_i,y_i) usaremos o método dos mínimos quadrados (regressão linear simples). As fórmulas para o coeficiente angular b e o coeficiente linear a na regressão por mínimos quadrados são
b=\frac{N\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{N\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}, \qquad a=\frac{\sum y_i - b\sum x_i}{N},
onde N é o número de pontos. Depois recuperamos
n=\frac{1}{b},\qquad K=\mathrm{e}^{\,a}.
Vou calcular explicitamente \ln P, \ln V_{A}, as somas necessárias e então a, b, K e n.

Passo 3

Calculemos \ln P e \ln V_{A} para cada ponto (usei logaritmo natural):
Para P=100 e V_{A}=97,5:
x_1=\ln(100)=4,605170,\qquad y_1=\ln(97,5)=4,579852.
Para P=200 e V_{A}=144:
x_2=\ln(200)=5,298317,\qquad y_2=\ln(144)=4,969813.
Para P=300 e V_{A}=182:
x_3=\ln(300)=5,703782,\qquad y_3=\ln(182)=5,204008.
Para P=400 e V_{A}=214:
x_4=\ln(400)=5,991465,\qquad y_4=\ln(214)=5,366309.
Esses valores foram obtidos aplicando a função \ln(\cdot) a cada P e V_{A}.

Passo 4

Agora calculamos as somas necessárias para a regressão:
N=4.
Somas dos x_i e y_i:
\sum x_i = x_1+x_2+x_3+x_4 = 21,598734,
\sum y_i = y_1+y_2+y_3+y_4 = 20,119982.
Soma dos quadrados:
\sum x_i^2 = x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 = 117,710582.
Soma dos produtos:
\sum x_i y_i = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4 = 109,256328.
(Em cada caso somei os termos correspondentes; se você fizer à mão, calcule cada x_i^2 e cada x_i y_i e some.)

Passo 5

Aplicando as fórmulas da regressão para obter b e a:
Calcule b:
b=\frac{N\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{N\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2} =\frac{4\cdot 109,256328 - 21,598734\cdot 20,119982}{4\cdot 117,710582 - (21,598734)^2}.
Substituindo e calculando numericamente obtemos
b \approx 0,5670.
Lembre que b=\dfrac{1}{n}. Assim
n=\frac{1}{b}\approx\frac{1}{0,5670}\approx 1,76.

Passo 6

Agora o coeficiente linear a:
a=\frac{\sum y_i - b\sum x_i}{N}=\frac{20,119982 - 0,5670\cdot 21,598734}{4}\approx 1,9683.
Como a=\ln K, temos
K=\mathrm{e}^{\,a}\approx \mathrm{e}^{1,9683}\approx 7,16.
Portanto a isoterma linearizada é
\ln V_{A}\approx 1,9683 + 0,5670\ln P,
o que confirma que os pontos se alinham bem numa reta (ou seja, os dados seguem a isoterma de Freundlich) e fornece K e n.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): usando K\approx 7,16 e n\approx 1,76 (logo 1/n\approx 0,5670), para P=100 temos
V_{A}=7,16\cdot 100^{0,5670}\approx 97,6\\ \text{cm}^3/\text{g},
próximo do valor experimental 97,5. Para P=400,
V_{A}=7,16\cdot 400^{0,5670}\approx 215\\ \text{cm}^3/\text{g},
próximo do valor experimental 214. Essas proximidades confirmam o bom ajuste.

Resposta

K \approx 7,16 \mathrm{cm^{3}\,g^{-1}\,mmHg^{-1/n}}
n \approx 1,76

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