Exercício 9. A isoterma de Freundlich pode ser escrita como
, onde
e
são constantes,
o volume de gás adsorvido por unidade de massa de adsorvente, medido nas CNTP, e
a pressão de equilíbrio. Os dados da tabela abaixo correspondem à adsorção de metano sobre 10 g de carvão a
.
100
200
300
400
97,5
144
182
214
Mostrar que essa adsorção segue a isoterma de Freundlich e determinar os valores das constantes da isoterma.
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100 | 200 | 300 | 400 |
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97,5 | 144 | 182 | 214 |
Passo 1
O enunciado fornece a isoterma de Freundlich na forma
onde
e
são constantes,
é o volume adsorvido por unidade de massa e
é a pressão de equilíbrio. Os dados fornecidos são (retirei diretamente a tabela do enunciado):
O que o problema pede: mostrar que os dados seguem a isoterma de Freundlich e determinar numericamente as constantes
e
.
Passo 2
Estratégia didática (a ideia matemática que vamos usar): se a isoterma é
tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos uma relação linear entre
e
:
Definimos
e então esperamos uma reta
com
Para ajustar uma reta aos pontos
usaremos o método dos mínimos quadrados (regressão linear simples). As fórmulas para o coeficiente angular
e o coeficiente linear
na regressão por mínimos quadrados são
onde
é o número de pontos. Depois recuperamos
Vou calcular explicitamente
,
, as somas necessárias e então
,
,
e
.
Passo 3
Calculemos
e
para cada ponto (usei logaritmo natural):
Para
e
:
Para
e
:
Para
e
:
Para
e
:
Esses valores foram obtidos aplicando a função
a cada
e
.
Passo 4
Agora calculamos as somas necessárias para a regressão:
Somas dos
e
:
Soma dos quadrados:
Soma dos produtos:
(Em cada caso somei os termos correspondentes; se você fizer à mão, calcule cada
e cada
e some.)
Passo 5
Aplicando as fórmulas da regressão para obter
e
:
Calcule
:
Substituindo e calculando numericamente obtemos
Lembre que
. Assim
Passo 6
Agora o coeficiente linear
:
Como
, temos
Portanto a isoterma linearizada é
o que confirma que os pontos se alinham bem numa reta (ou seja, os dados seguem a isoterma de Freundlich) e fornece
e
.
Passo 7
Verificação rápida (checagem): usando
e
(logo
), para
temos
próximo do valor experimental
. Para
,
próximo do valor experimental
. Essas proximidades confirmam o bom ajuste.