Exercício 12:

Uma partícula carregada viaja através do espaço, até que chega em uma região permeada por um campo magnético uniforme \vec{B}_{\text {ext }}, orientado perpendicularmente à velocidade da partícula. No capítulo anterior, você aprendeu que tal partícula sofre a ação de uma força magnética que impõe uma trajetória circular. Além disso, devido ao movimento circular, a partícula carregada também cria seu próprio campo magnético \vec{B}_{p}.
a) Obtenha uma expressão para a magnitude do campo magnético B_{p} no centro da trajetória circular, em termos do módulo do campo externo B_{\text {ext }}, do raio da órbita R, da carga q na partícula e sua massa m.
b) Usando que a velocidade da luz é c_{0}=1 / \sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}, mostre que sua expressão poder ser escrita na forma:
\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \frac{1}{m c_{0}^{2}} B_{\mathrm{ext}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informação: existe um campo magnético externo uniforme \vec{B}_{\text{ext}} perpendicular à velocidade da partícula.
  • Informação: a partícula tem carga \;q\;, massa \;m\; e descreve uma órbita circular de raio \;R\; sob a ação do campo externo.
  • Informação: por se mover em círculo, a partícula cria um campo magnético próprio \vec{B}_{p}. Precisamos achar a magnitude desse campo no centro da órbita.
Perguntas pedidas:
a) Obter uma expressão para a magnitude B_{p} no centro da órbita em termos de B_{\text{ext}}, R, q e m.
b) Mostrar que essa expressão pode ser escrita como
\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} R}\,\frac{1}{m c_{0}^{2}}\,B_{\mathrm{ext}}.

Passo 2

Primeiro precisamos relacionar a velocidade da partícula com o campo externo. A força magnética (força de Lorentz) sobre uma carga em movimento é dada por
\vec{F}_{\text{mag}} = q\,\vec{v}\times\vec{B}_{\text{ext}}.
Como \vec{v} é perpendicular a \vec{B}_{\text{ext}} (diz o enunciado), o módulo da força magnética é
F_{\text{mag}} = q\,v\,B_{\text{ext}}.
Essa força fornece a aceleração centrípeta necessária para o movimento circular. A força centrípeta tem módulo
F_{\text{cent}} = \frac{m v^{2}}{R}.
No regime de órbita circular estável, essas forças se equilibram:
q\,v\,B_{\text{ext}} = \frac{m v^{2}}{R}.
Agora resolvemos essa equação para v. Cancelando um v (assumindo v\neq 0):
q\,B_{\text{ext}} = \frac{m v}{R}.
Assim a velocidade da partícula é
v = \frac{q\,B_{\text{ext}}\,R}{m}.

Passo 3

Para calcular o campo magnético criado pela partícula, é útil tratar o movimento da carga como uma corrente elétrica equivalente. A definição de corrente elétrica é carga por unidade de tempo. A partícula descreve uma volta completa em período T dado por
T = \frac{2\pi R}{v}.
A corrente equivalente (corrente associada à carga que circula) é
I = \frac{q}{T} = \frac{q}{2\pi R/v} = \frac{q v}{2\pi R}.
Substituindo a expressão de v obtida no Passo 2:
I = \frac{q}{2\pi R}\cdot \frac{q\,B_{\text{ext}}\,R}{m} = \frac{q^{2} B_{\text{ext}}}{2\pi m}.
Note que o R cancelou aqui — interessante: a corrente equivalente depende de B_{\text{ext}}, q e m mas não de R nesta expressão intermediária.

Passo 4

Agora precisamos do campo magnético no centro de uma espira circular de raio R que transporta corrente I. Usamos a Lei de Biot–Savart, que diz para um elemento de corrente I\,d\vec{\ell}:
d\vec{B} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec{\ell}\times\hat{r}}{r^{2}},
onde \hat{r} é o versor que vai do elemento d\ell até o ponto onde se calcula o campo e r é a distância entre eles. No centro da espira:
  • a distância é r=R constante para todos os elementos,
  • o ângulo entre d\vec{\ell} e \hat{r} é 90^\circ, então |d\vec{\ell}\times\hat{r}| = |d\ell|,
  • a contribuição de direção de cada elemento aponta para a mesma direção axial (simetria circular).
Assim o módulo do campo no centro é
B = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I}{R^{2}}\oint |d\ell|.
O comprimento total da espira é \oint |d\ell| = 2\pi R. Substituindo:
B = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I}{R^{2}}\,(2\pi R) = \frac{\mu_{0} I}{2R}.
Esse é o resultado padrão: o campo no centro de uma espira circular de raio R com corrente I vale \;B=\dfrac{\mu_{0} I}{2R}.

Passo 5

Agora substituímos a corrente I obtida no Passo 3 na fórmula do Passo 4. Temos
B_{p} = \frac{\mu_{0}}{2R}\,I = \frac{\mu_{0}}{2R}\cdot\frac{q^{2} B_{\text{ext}}}{2\pi m}.
Simplificando os fatores:
B_{p} = \frac{\mu_{0} q^{2}}{4\pi m R}\;B_{\text{ext}}.
Essa é a expressão pedida na parte (a): o campo magnético criado pela carga no centro da órbita, expresso em termos de B_{\text{ext}}, R, q e m.

Passo 6

Agora transformamos essa expressão para a forma pedida na parte (b). Usamos a relação entre a velocidade da luz no vácuo c_{0}, a permissividade \varepsilon_{0} e a permeabilidade \mu_{0}:
c_{0} = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}\quad\Longrightarrow\quad \mu_{0} = \frac{1}{\varepsilon_{0} c_{0}^{2}}.
Substituindo \mu_{0} em B_{p} = \dfrac{\mu_{0} q^{2}}{4\pi m R}\,B_{\text{ext}}:
B_{p} = \frac{1}{\varepsilon_{0} c_{0}^{2}}\cdot\frac{q^{2}}{4\pi m R}\;B_{\text{ext}}.
Reagrupando os fatores para deixar na forma pedida:
B_{p} = \left(\frac{q^{2}}{4\pi \varepsilon_{0} R}\right)\left(\frac{1}{m c_{0}^{2}}\right) B_{\text{ext}}.
Pronto — essa é exatamente a forma solicitada na parte (b).

Resposta

a) \displaystyle B_{p}=\frac{\mu_{0}\,q^{2}}{4\pi\,m\,R}\;B_{\text{ext}}
b) \displaystyle B_{p}=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}\,\frac{1}{m c_{0}^{2}}\,B_{\text{ext}}

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