Exercício 12:
Uma partícula carregada viaja através do espaço, até que chega em uma região permeada por um campo magnético uniforme
, orientado perpendicularmente à velocidade da partícula. No capítulo anterior, você aprendeu que tal partícula sofre a ação de uma força magnética que impõe uma trajetória circular. Além disso, devido ao movimento circular, a partícula carregada também cria seu próprio campo magnético
.
a) Obtenha uma expressão para a magnitude do campo magnético
no centro da trajetória circular, em termos do módulo do campo externo
, do raio da órbita
, da carga
na partícula e sua massa
.
b) Usando que a velocidade da luz é
, mostre que sua expressão poder ser escrita na forma:
a) Obtenha uma expressão para a magnitude do campo magnético
b) Usando que a velocidade da luz é
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Informação: existe um campo magnético externo uniforme
perpendicular à velocidade da partícula. - Informação: a partícula tem carga
, massa e descreve uma órbita circular de raio sob a ação do campo externo. - Informação: por se mover em círculo, a partícula cria um campo magnético próprio
. Precisamos achar a magnitude desse campo no centro da órbita.
Perguntas pedidas:
a) Obter uma expressão para a magnitude no centro da órbita em termos de
,
,
e
.
b) Mostrar que essa expressão pode ser escrita como
a) Obter uma expressão para a magnitude
b) Mostrar que essa expressão pode ser escrita como
Passo 2
Primeiro precisamos relacionar a velocidade da partícula com o campo externo. A força magnética (força de Lorentz) sobre uma carga em movimento é dada por
Como
é perpendicular a
(diz o enunciado), o módulo da força magnética é
Essa força fornece a aceleração centrípeta necessária para o movimento circular. A força centrípeta tem módulo
No regime de órbita circular estável, essas forças se equilibram:
Agora resolvemos essa equação para
. Cancelando um
(assumindo
):
Assim a velocidade da partícula é
Passo 3
Para calcular o campo magnético criado pela partícula, é útil tratar o movimento da carga como uma corrente elétrica equivalente. A definição de corrente elétrica é carga por unidade de tempo. A partícula descreve uma volta completa em período
dado por
A corrente equivalente (corrente associada à carga que circula) é
Substituindo a expressão de
obtida no Passo 2:
Note que o
cancelou aqui — interessante: a corrente equivalente depende de
,
e
mas não de
nesta expressão intermediária.
Passo 4
Agora precisamos do campo magnético no centro de uma espira circular de raio
que transporta corrente
. Usamos a Lei de Biot–Savart, que diz para um elemento de corrente
:
onde
é o versor que vai do elemento
até o ponto onde se calcula o campo e
é a distância entre eles. No centro da espira:
- a distância é
constante para todos os elementos, - o ângulo entre
e é , então , - a contribuição de direção de cada elemento aponta para a mesma direção axial (simetria circular).
Assim o módulo do campo no centro é
O comprimento total da espira é
. Substituindo:
Esse é o resultado padrão: o campo no centro de uma espira circular de raio
com corrente
vale
.
Passo 5
Agora substituímos a corrente
obtida no Passo 3 na fórmula do Passo 4. Temos
Simplificando os fatores:
Essa é a expressão pedida na parte (a): o campo magnético criado pela carga no centro da órbita, expresso em termos de
,
,
e
.
Passo 6
Agora transformamos essa expressão para a forma pedida na parte (b). Usamos a relação entre a velocidade da luz no vácuo
, a permissividade
e a permeabilidade
:
Substituindo
em
:
Reagrupando os fatores para deixar na forma pedida:
Pronto — essa é exatamente a forma solicitada na parte (b).
Resposta
a)
b)