Exercício 5:

Um fio tem uma seção reta circular de raio R e carrega uma corrente I. Suponha que os portadores de carga se movam ao longo da superfície cilíndrica, ao invés de atravessar a seção reta do fio.
a) Derive uma expressão para o módulo do campo magnético B(r) em função da distância r do eixo do fio. Verifique se o seu resultado faz sentido para r<R e r>R.
b) Esboce um gráfico mostrando o módulo do campo magnético dentro e fora do fio, em função da distância r do eixo do fio. Indique o ponto r=R no eixo r e também o módulo B(r=R) no eixo $B®.

Passo 1

O enunciado dá um fio com seção circular de raio R que transporta uma corrente total I. A diferença aqui é que os portadores de carga se movem somente ao longo da superfície cilíndrica do fio (ou seja, toda a corrente está concentrada na casca cilíndrica de raio R), não atravessando o interior.
Perguntas do enunciado:
  1. (a) Derivar o módulo do campo magnético B(r) em função da distância r ao eixo do fio e verificar o comportamento para r<R e r>R.
  2. (b) Esboçar o gráfico de B(r) versus r, indicando o ponto r=R e o valor B(r=R).
Informações relevantes fornecidas:
  • Raio da seção do fio: R.
  • Corrente total transportada pelo fio: I.
  • Corrente flui apenas na superfície cilíndrica de raio R (corrente superficial concentrada na casca).

Passo 2

Escolhendo a ferramenta: vamos usar a Lei de Ampère, que é a forma mais direta aqui por causa da simetria cilíndrica. Primeiro vou explicar a Lei de Ampère e por que ela se aplica.
A Lei de Ampère (no vácuo) diz que a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual a \mu_0 vezes a corrente elétrica total que atravessa a superfície limitada por esse caminho:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}.
Aqui:
  • \mathbf{B} é o campo magnético vetorial.
  • d\mathbf{l} é um elemento do caminho fechado.
  • I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total encerrada pelo caminho.
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0 \approx 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^2}).
Pela simetria cilíndrica do problema: o campo magnético em torno de um fio longo e reto é tangencial (isto é, em torno do eixo, na direção azimutal) e seu módulo só depende da distância radial r ao eixo. Portanto um circuito amperiano conveniente é um círculo de raio r centrado no eixo do fio. Nesse circuito \mathbf{B} é tangencial e tem módulo constante ao longo do círculo, então a integral se simplifica para B(r) vezes o comprimento do círculo 2\pi r:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = B(r)\,2\pi r.

Passo 3

Caso 1: r<R (ponto dentro do raio do fio).
Qual é I_{\text{enc}} para um círculo de raio r<R? Como toda a corrente está concentrada na superfície a r=R, nenhum fio/corrente passa pelo interior ( r<R). Logo a corrente encerrada é nula:
I_{\text{enc}} = 0 \quad\text{(para } r<R\text{)}.
Aplicando Ampère:
B(r)\,2\pi r = \mu_0 \cdot 0 = 0.
Portanto, para r<R,
B(r) = 0.
Explicação física simples: se a corrente corre apenas na casca externa, o interior não “sente” corrente dentro do laço; o campo magnético gerado por essa casca se anula dentro, de modo que o módulo do campo é zero para todo ponto estritamente interno.

Passo 4

Caso 2: r>R (ponto fora do fio).
Agora o círculo amperiano de raio r envolve toda a casca onde a corrente está concentrada, então a corrente encerrada é a corrente total I:
I_{\text{enc}} = I \quad\text{(para } r>R\text{)}.
Aplicando Ampère:
B(r)\,2\pi r = \mu_0 I.
Isolando B(r),
B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r},\qquad r>R.
Comentário: essa expressão é exatamente a mesma que se obtém para um fio fino com corrente I ao longo do eixo — fora do fio a distribuição radial da corrente só determina a forma interna do campo; externamente o comportamento é como se toda a corrente estivesse concentrada no eixo (campo decai como 1/r).

Passo 5

Combinando os dois casos, temos a solução em forma de função por partes:
B(r)= \begin{cases} 0, & 0\le r < R,\\[6pt] \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}, & r>R. \end{cases}
Agora verificar os limites e o comportamento:
  • Para r<R o resultado dá B=0, consistente com a ideia de corrente apenas na superfície.
  • Para r>R o campo decai como 1/r, e ao aproximar r\to\infty temos B\to 0, como esperado.
  • Em r=R há uma descontinuidade: o limite pela esquerda é B(R^-)=0 e pela direita é B(R^+)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}. Ou seja, o campo tangencial sofre um salto ao atravessar a casca onde a corrente está localizada. Isso é físico: uma corrente superficial produz exatamente esse salto no campo magnético tangencial.
Observação sobre valor exatamente em r=R: para uma corrente idealizada concentrada numa superfície infinitamente fina, o valor de B exatamente na superfície é matematicamente ambíguo (pode-se tomar a média dos limites ou analisar um modelo com casca de pequena espessura). Na prática para o gráfico e para a resposta de prova é suficiente indicar os limites e notar a descontinuidade.]

Passo 6

Uma verificação de consistência rápida com unidades: \mu_0 I/(2\pi r) tem unidades (\mathrm{N/A^2})\cdot\mathrm{A}/\mathrm{m} = \mathrm{N/(A\cdot m)}=\mathrm{T} (tesla), que são unidades de campo magnético — ótimo.
Também comparando com outro caso que pode aparecer em provas: se a corrente fosse distribuída uniformemente pelo volume da seção (corrente volumétrica), então para r<R encontraríamos um B(r) que cresce linearmente com r. Aqui, por ser corrente apenas na superfície, o interior tem B=0.

Passo 7

Descrição do esboço do gráfico pedido (parte b):
  • Eixo horizontal: r (distância ao eixo), marcar o ponto r=R.
  • Eixo vertical: B(r).
  • Para 0\le r<R: traçar uma linha horizontal coincidente com B=0.
  • Em r=R: indicar uma descontinuidade vertical que sobe de 0 para B(R^+)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}. (Opcionalmente desenhar um ponto aberto em B=0 e um ponto preenchido em B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R} para enfatizar a descontinuidade.)
  • Para r>R: desenhar a curva hiperbólica B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}, que decresce para zero conforme r aumenta.
Essa descrição é suficiente para esboçar à mão: um traço nulo até R e depois uma caída como 1/r iniciando no valor \dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}.

Resposta

B(r)= \begin{cases} 0, & 0\le r < R,\\[6pt] \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}, & r>R, \end{cases}
Gráfico: B(r)=0 para r<R; salto em r=R até B(R^+)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}; para r>R decresce como \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}.]

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