Exercício 12. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória. Determine a priori não informativa de Jeffreys para \theta quando:
X_{1} \mid \theta \sim \operatorname{BinNeg}(r, \theta);

Passo 1

O enunciado pede a priori de Jeffreys para o parâmetro \theta quando X_{1},\dots,X_{n} são i.i.d. com distribuição binomial negativa \mathrm{BinNeg}(r,\theta).
Conteúdo: prior de Jeffreys, que é
\pi_J(\theta)\propto \sqrt{I(\theta)},
onde I(\theta) é a informação de Fisher.

Passo 2

Escrevemos a função de massa de probabilidade de uma observação X:
P(X=x\mid\theta) =\binom{x+r-1}{x}\,\theta^{r}\,(1-\theta)^{x},\quad x\in\{0,1,2,\dots\}.
O log-verossimilhança de um único X em função de \theta (ignorando constantes em \theta) é
\ell(\theta) =\log P(X=x\mid\theta) =r\log\theta \;+\; x\log(1-\theta).

Passo 3

Calculamos as derivadas de \ell(\theta):
\frac{\partial\ell}{\partial\theta} =\frac{r}{\theta}-\frac{x}{1-\theta}, \qquad \frac{\partial^2\ell}{\partial\theta^2} =-\frac{r}{\theta^2}-\frac{x}{(1-\theta)^2}.

Passo 4

A informação de Fisher de uma observação é
I_1(\theta) =-\mathbb{E}\!\Bigl[\frac{\partial^2\ell}{\partial\theta^2}\Bigr] =\frac{r}{\theta^2}+\frac{\mathbb{E}[X]}{(1-\theta)^2}.
Como para \mathrm{BinNeg}(r,\theta) vale \mathbb{E}[X]=r\frac{1-\theta}{\theta}, segue
I_1(\theta) =\frac{r}{\theta^2}+\frac{r\,(1-\theta)/\theta}{(1-\theta)^2} =\frac{r}{\theta^2}+\frac{r}{\theta\,(1-\theta)} =\frac{r}{\theta^2(1-\theta)}.

Passo 5

Para n observações independentes a informação é I_n(\theta)=n\,I_1(\theta), logo
I_n(\theta) =\frac{n\,r}{\theta^2(1-\theta)}.
A priori de Jeffreys é
\pi_J(\theta)\propto\sqrt{I_n(\theta)} \propto\frac{1}{\theta\,\sqrt{1-\theta}}, \qquad 0<\theta<1.

Resposta

\pi_J(\theta)\propto\theta^{-1}\,(1-\theta)^{-1/2},\quad 0<\theta<1.

Exercícios relacionados