Exercício 11. Para cada uma das distribuições abaixo, verifique se o modelo é de locação, escala ou locação-escala. Determine a priori não informativa para os parâmetros desconhecidos.
Uniforme( -\theta, \theta ).

Passo 1

O enunciado dá a distribuição
f(x\mid \theta)=\frac{1}{2\theta}\,\mathbf{1}_{\{-\theta\le x\le\theta\}}
onde \theta>0 é desconhecido. O conteúdo aqui é identificar se esse modelo pertence a alguma das famílias padrão — locação, escala ou locação-escala — e, em seguida, escolher uma priori não informativa adequada para \theta.

Passo 2

Para ver a que tipo de família esse modelo pertence, escrevemos
f(x\mid \theta) =\frac{1}{2\theta}\,\mathbf{1}_{\{|x|\le\theta\}} =\frac{1}{\theta}\underbrace{\frac12\,\mathbf{1}_{\{|x/\theta|\le1\}}}_{f_0(x/\theta)}.
Aqui f_0(u)=\tfrac12\,\mathbf{1}_{\{|u|\le1\}} não depende de \theta. Portanto, o modelo é do tipo escala, pois há o fator 1/\theta e a variável aparece como x/\theta.

Passo 3

Em modelos de escala, o princípio de invariância sob reparametrização sugere usar como priori não informativa a densidade que é invariante ao reescalonamento de \theta. Essa condição leva à chamada priori de Jeffreys para parâmetro de escala:
\pi(\theta)\propto\frac1\theta,\qquad \theta>0.

Resposta

A família é do tipo escala e a priori não informativa escolhida é
\pi(\theta)\propto\frac1\theta,\quad \theta>0.

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