Exercício 12. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória. Determine a priori não informativa de Jeffreys para \theta quando:
X_{1} \mid \theta \sim \operatorname{Geométrica}(\theta);

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos uma amostra aleatória X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} de uma distribuição Geométrica com parâmetro \theta, ou seja
P(X_{i}=x\mid \theta)=\theta\,(1-\theta)^{\,x-1},\quad x=1,2,\ldots
Queremos encontrar a priori não informativa de Jeffreys para \theta. Para isso vamos usar a definição
\pi_J(\theta)\propto\sqrt{I(\theta)},
onde I(\theta) é a informação de Fisher da amostra.

Passo 2

Função de verossimilhança e log-verossimilhança
A função de verossimilhança da amostra é
L(\theta) =\prod_{i=1}^{n}\theta\,(1-\theta)^{x_i-1} =\theta^{n}\,(1-\theta)^{\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)}.
Tomando logaritmo, obtemos a log-verossimilhança
\ell(\theta) =\log L(\theta) =n\log\theta+\Bigl(\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)\Bigr)\log(1-\theta).

Passo 3

Derivadas da log-verossimilhança
Calculamos a primeira derivada
\frac{\partial}{\partial\theta}\ell(\theta) =\frac{n}{\theta} -\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)}{1-\theta},
e a segunda derivada
\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ell(\theta) =-\frac{n}{\theta^2} -\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)}{(1-\theta)^2}.

Passo 4

Informação de Fisher
Por definição
I(\theta) =-E\Bigl[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ell(\theta)\Bigr].
Como E[X_i]=1/\theta, temos
E\Bigl[\sum_{i=1}^{n}(x_i-1)\Bigr] =n\bigl(E[X_i]-1\bigr) =n\Bigl(\frac1{\theta}-1\Bigr).
Logo
I(\theta) =\frac{n}{\theta^2} +\frac{n\bigl(\frac1{\theta}-1\bigr)}{(1-\theta)^2} =n\Bigl(\frac1{\theta^2}+\frac{1/\theta-1}{(1-\theta)^2}\Bigr).
Reescrevendo o termo interno
\frac{1}{\theta^2}+\frac{\frac1{\theta}-1}{(1-\theta)^2} =\frac{1}{\theta^2}+\frac{1-\theta}{\theta\,(1-\theta)^2} =\frac{1}{\theta^2}+\frac{1}{\theta\,(1-\theta)} =\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}.
Portanto
I(\theta) =\frac{n}{\theta^2\,(1-\theta)}.

Passo 5

Prior de Jeffreys
A priori de Jeffreys é proporcional a \sqrt{I(\theta)}, ou seja
\pi_J(\theta) \propto\sqrt{\frac{n}{\theta^2\,(1-\theta)}} \;\propto\;\frac{1}{\theta\,(1-\theta)^{1/2}}, \quad 0<\theta<1.

Resposta

\pi_J(\theta)\propto\theta^{-1}\,(1-\theta)^{-\tfrac12}, \quad 0<\theta<1.

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