Exercício 12. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória. Determine a priori não informativa de Jeffreys para \theta quando:
X_{1} \mid \theta \sim \operatorname{Binomial}(n, \theta);

Passo 1

O enunciado pede a priori de Jeffreys para o parâmetro \theta quando temos uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} com distribuição binomial de parâmetros (n,\theta).
O que precisamos:
– A definição de priori de Jeffreys:
\pi_J(\theta)\propto \sqrt{I(\theta)},
onde I(\theta) é a informação de Fisher sobre \theta.
– Calcular I(\theta) a partir da log-verossimilhança.

Passo 2

Escrevemos a log-verossimilhança de \theta. Se X_1,\dots,X_n são independentes e identicamente distribuídos \mathrm{Bernoulli}(\theta), então a soma S=\sum_{i=1}^n X_i segue \mathrm{Binomial}(n,\theta) e
\ell(\theta)=\log P(S=s\mid \theta) =\log\binom{n}{s}+s\log\theta+(n-s)\log(1-\theta).
Como a combinação não depende de \theta, ao derivar sobra
\frac{\partial \ell}{\partial \theta} =\frac{s}{\theta}-\frac{n-s}{1-\theta} \quad\text{e}\quad \frac{\partial^2 \ell}{\partial \theta^2} =-\frac{s}{\theta^2}-\frac{n-s}{(1-\theta)^2}.

Passo 3

A informação de Fisher é
I(\theta) =-\E\!\biggl[\frac{\partial^2\ell}{\partial \theta^2}\biggr] =\E\!\Bigl[\tfrac{s}{\theta^2}+\tfrac{n-s}{(1-\theta)^2}\Bigr].
Como \E[s]=n\theta, temos
I(\theta) =\frac{n\theta}{\theta^2}+\frac{n(1-\theta)}{(1-\theta)^2} =\frac{n}{\theta}+\frac{n}{1-\theta} =\frac{n}{\theta(1-\theta)}.

Passo 4

A priori de Jeffreys é
\pi_J(\theta)\propto \sqrt{I(\theta)} =\sqrt{\frac{n}{\theta(1-\theta)}} \;\propto\;\frac{1}{\sqrt{\theta(1-\theta)}}.
Isso coincide com o núcleo de uma distribuição \mathrm{Beta}(\tfrac12,\tfrac12). Para normalizar, usamos
B\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr) =\int_{0}^{1}t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}dt =\pi,
logo a densidade fica

Resposta

\pi_J(\theta) =\frac{1}{B(\tfrac12,\tfrac12)}\;\theta^{-1/2}(1-\theta)^{-1/2} =\frac{1}{\pi}\,\frac{1}{\sqrt{\theta(1-\theta)}}, \quad 0<\theta<1.

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