Exercício 12. Sejam os conjuntos
A=\left\{x \in \mathbb{R}:\left|x-\frac{1}{2}\right| \leq 2\right\}, \quad B=\left\{x \in \mathbb{R}:|x-1| \leq \frac{3}{2}\right\}
Determinar A \cap B, A \cup B, \bar{B}.

Passo 1

O enunciado define dois conjuntos em \mathbb{R} por desigualdades do tipo valor absoluto:
A = \{x\in\mathbb{R} : |x-\tfrac12|\le2\},\qquad B = \{x\in\mathbb{R} : |x-1|\le\tfrac32\}.
O conteúdo é operações com intervalos e operações de conjuntos (união, interseção e complemento). Para resolver, vamos primeiro expressar A e B como intervalos da reta real.

Passo 2

Transformamos as desigualdades em intervalos:
Para A:
|x-\tfrac12|\le2 \quad\Longrightarrow\quad -2 \le x-\tfrac12 \le 2 \quad\Longrightarrow\quad -2 + \tfrac12 \le x \le 2 + \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac32 \le x \le \tfrac52.
Logo,
A = \bigl[-\tfrac32,\;\tfrac52\bigr].
Para B:
|x-1|\le\tfrac32 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac32 \le x-1 \le \tfrac32 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \tfrac32 \le x \le 1 + \tfrac32 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac12 \le x \le \tfrac52.
Logo,
B = \bigl[-\tfrac12,\;\tfrac52\bigr].

Passo 3

Agora fazemos interseção e união dos intervalos:
A\cap B =\bigl[-\tfrac32,\tfrac52\bigr]\cap\bigl[-\tfrac12,\tfrac52\bigr] =\bigl[-\tfrac12,\tfrac52\bigr],
A\cup B =\bigl[-\tfrac32,\tfrac52\bigr]\cup\bigl[-\tfrac12,\tfrac52\bigr] =\bigl[-\tfrac32,\tfrac52\bigr].

Passo 4

O complemento de B em \mathbb{R} são todos os x fora do intervalo \bigl[-\tfrac12,\tfrac52\bigr], isto é,
\bar{B} =(-\infty,\,-\tfrac12)\;\cup\;(\tfrac52,\,+\infty).

Resposta

A\cap B = \bigl[-\tfrac12,\tfrac52\bigr]
A\cup B = \bigl[-\tfrac32,\tfrac52\bigr]
\bar{B} = (-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac52,\infty)

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