Exercício 13. Sejam os conjuntos
A=\{x \in \mathbb{Z}:|x| \leq 4\}, \quad B=\{x \in \mathbb{Z}: x \mid 6\}
Determinar A \cap B, A \cup B, A-B, B-A, A \Delta B

Passo 1

O enunciado define os conjuntos
A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 4\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Z} : x \mid 6\}
e pede as operações de teoria de conjuntos: interseção ( \cap), união ( \cup), diferença ( -) e diferença simétrica ( \Delta). Vamos usar as definições:
A\cap B=\{x:x\in A\text{ e }x\in B\};
A\cup B=\{x:x\in A\text{ ou }x\in B\};
A-B=\{x:x\in A\text{ e }x\notin B\};
A\Delta B=(A-B)\cup(B-A).

Passo 2

Determinar explicitamente A. Por definição |x|\le4 em \mathbb{Z}
A = \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}.

Passo 3

Determinar explicitamente B. “ x\mid6” significa que existe k\in\mathbb{Z} tal que 6=kx. Os divisores inteiros de 6 são
B = \{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\}.

Passo 4

Calcular A\cap B, ou seja, os elementos comuns a A e B. São os divisores de 6 que também satisfazem |x|\le4:
A\cap B = \{-3,-2,-1,1,2,3\}.

Passo 5

Calcular A\cup B, reunindo todos os elementos de A ou de B. É o conjunto de -4 a 4 mais \pm6:
A\cup B = \{-6,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,6\}.

Passo 6

Calcular A - B, que são os elementos de A que não estão em B. Em A mas não em B restam
A - B = \{-4,0,4\}.

Passo 7

Calcular B - A, que são os divisores de 6 fora do intervalo |x|\le4. Ficam
B - A = \{-6,6\}.

Passo 8

Calcular a diferença simétrica A\Delta B=(A-B)\cup(B-A). Unindo os resultados dos passos 6 e 7:
A\Delta B = \{-6,-4,0,4,6\}.

Resposta

A\cap B = \{-3,-2,-1,1,2,3\}
A\cup B = \{-6,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,6\}
A - B = \{-4,0,4\}
B - A = \{-6,6\}
A\Delta B = \{-6,-4,0,4,6\}

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