Exercício 12. Traduzir, em linguagem matemática , utilizando os quantificadores existencial e universal, as seguintes frases :
Entre dois números reais distintos, pode-se encontrar um número racional.

Passo 1

O enunciado pede para traduzir, usando quantificadores, a afirmação “Entre dois números reais distintos, pode-se encontrar um número racional”. O conteúdo é lógica de predicados com quantificadores existencial e universal sobre os conjuntos \mathbb{R} e \mathbb{Q}.

Passo 2

Vamos identificar as variáveis e os domínios:
x e y variam em \mathbb{R} (números reais);
q varia em \mathbb{Q} (números racionais).
A condição “entre x e y” pode ser formalizada assumindo x<y, pois se x>y basta trocar os papéis de x e y.

Passo 3

A tradução em linguagem matemática fica então:
\forall x,y\in\mathbb{R}\,\bigl(x<y\implies\exists q\in\mathbb{Q}\,(x<q<y)\bigr).

Resposta

\forall x,y\in\mathbb{R}\,\bigl(x<y\implies\exists q\in\mathbb{Q}\,(x<q<y)\bigr).

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