Exercício 12: Verificar que as atribuições de probabilidade nos modelos Binomial, Geométrico, Hipergeométrico e Poisson satisfazem às propriedades de função de probabilidade.
Passo 1
O problema pede para verificar que, em cada um dos quatro modelos discretos (Binomial, Geométrico, Hipergeométrico e Poisson), as atribuições de probabilidade satisfazem as duas propriedades essenciais de uma função massa de probabilidade (pmf):
- não-negatividade: toda probabilidade deve ser
; - soma das probabilidades sobre todo o suporte igual a
.
As informações (as fórmulas das pmf e seus suportes) que vamos usar são estas:
- Binomial: para parâmetros
e ,
- Geométrico (forma usual com suporte iniciando em 1): para
,
- Hipergeométrico: para
total de objetos, de sucesso na população, e amostras sem reposição,
onde
varia entre
e
(os valores possíveis).
- Poisson: para taxa
,
Nos próximos passos vou, para cada distribuição, mostrar passo a passo por que (i) cada termo é
e (ii) a soma de todos os termos em seu suporte é
. Vou explicar as identidades que eu usar (teorema binomial, soma geométrica, argumento combinatório / identidade de Vandermonde, série exponencial), mostrando por que valem, de forma didática.
Passo 2
Binomial — não-negatividade.
Expliquei a pmf: para
.
Aqui é um número combinatório (não negativo), e
,
porque
. Produto de números não-negativos é não-negativo. Portanto
Expliquei a pmf:
Aqui
para todo
no suporte. Isso estabelece a propriedade de não-negatividade.
Passo 3
Binomial — soma das probabilidades = 1 (uso do teorema binomial).
A identidade fundamental que usaremos é o Teorema Binomial: para quaisquer números ,
A identidade fundamental que usaremos é o Teorema Binomial: para quaisquer números
Prova rápida e intuitiva do teorema binomial: ao expandir
(n fatores), cada termo da expansão é formado escolhendo de cada fator seja
ou
; escolher exatamente
vezes
e
vezes
gera um termo
e há
maneiras de escolher quais
fatores deram
. Somando por todos os
obtemos a expansão.
Aplicando com
e
temos
Portanto a soma dos
sobre todo o suporte é
. Conclusão: a distribuição Binomial satisfaz as duas propriedades.
Passo 4
Geométrico — não-negatividade.
A pmf é para
com
. Novamente
e
, logo cada
. (Se
a forma usual falha como distribuição; por isso tomamos
.)
A pmf é
Passo 5
Geométrico — soma das probabilidades = 1 (soma geométrica).
A soma das probabilidades é
A soma das probabilidades é
A soma
é a série geométrica; ela converge para
quando
. Aqui
e
porque
. Uma derivação simples da fórmula da soma parcial: seja
. Então
. Subtraindo,
. Fazendo
e usando
dá
.
Aplicando isso,
Portanto a soma é
, mostrando que a Geométrica satisfaz as propriedades de pmf.
Passo 6
Hipergeométrico — não-negatividade.
A pmf é
A pmf é
com
total,
sucessos na população,
tamanho da amostra sem reposição, e
no intervalo possível. Cada binomial
é um número não-negativo e
(assumindo
). Assim
para todo
válido.
Passo 7
Hipergeométrico — soma das probabilidades = 1 (prova combinatória / identidade de Vandermonde).
Intuição combinatória clara: o denominador conta todas as maneiras de escolher
objetos dentre
. Para fixar
sucessos escolhidos (de entre os
disponíveis) e
falhas (de entre os
restantes), o número de maneiras é
. Portanto, somando esse número sobre todos os
possíveis contamos todas as escolhas de
objetos, sem sobreposição entre valores distintos de
. Ou seja,
Intuição combinatória clara: o denominador
Dividindo ambos os lados por
obtemos
que é exatamente a soma das probabilidades. Essa identidade também é conhecida como identidade de Vandermonde e tem uma prova algébrica usando coeficientes de polinômios, mas a prova combinatória que dei é rápida e convincente para uso em prova.
Passo 8
Poisson — não-negatividade.
A pmf é para
com
. Temos
,
e
, logo cada
.
A pmf é
Passo 9
Poisson — soma das probabilidades = 1 (série exponencial).
A soma das probabilidades é
A soma das probabilidades é
A série
é justamente a expansão em série de Taylor da função exponencial
. Ou seja,
Logo a soma é
Isso prova que a Poisson tem soma das probabilidades igual a
.
Passo 10
Resumo rápido e encorajador (para fixar): em cada caso checamos duas coisas simples — termos não-negativos (típico porque binomiais, potências e fatoriais são não-negativos) e soma = 1. Para somas usamos identidades conhecidas: teorema binomial (Binomial), soma da série geométrica (Geométrica), contagem condicionada / Vandermonde (Hipergeométrica) e série exponencial (Poisson). Se ficar cansado, lembra: sempre que eu vejo uma soma de probabilidades, procuro uma identidade clássica que transforma essa soma numa expressão simples como
,
,
ou
— isso resolve rapidinho.