Exercício 12: Verificar que as atribuições de probabilidade nos modelos Binomial, Geométrico, Hipergeométrico e Poisson satisfazem às propriedades de função de probabilidade.

Passo 1

O problema pede para verificar que, em cada um dos quatro modelos discretos (Binomial, Geométrico, Hipergeométrico e Poisson), as atribuições de probabilidade satisfazem as duas propriedades essenciais de uma função massa de probabilidade (pmf):
  1. não-negatividade: toda probabilidade deve ser \ge 0;
  2. soma das probabilidades sobre todo o suporte igual a 1.
As informações (as fórmulas das pmf e seus suportes) que vamos usar são estas:
  • Binomial: para parâmetros n\in\mathbb{N} e p\in[0,1],
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,\dots,n.
  • Geométrico (forma usual com suporte iniciando em 1): para p\in(0,1],
P(X=k)=p(1-p)^{k-1},\qquad k=1,2,\dots.
  • Hipergeométrico: para N total de objetos, K de sucesso na população, e n amostras sem reposição,
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}},
onde k varia entre \max(0,n-(N-K)) e \min(n,K) (os valores possíveis).
  • Poisson: para taxa \lambda>0,
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots.
Nos próximos passos vou, para cada distribuição, mostrar passo a passo por que (i) cada termo é \ge 0 e (ii) a soma de todos os termos em seu suporte é 1. Vou explicar as identidades que eu usar (teorema binomial, soma geométrica, argumento combinatório / identidade de Vandermonde, série exponencial), mostrando por que valem, de forma didática.

Passo 2

Binomial — não-negatividade.
Expliquei a pmf: P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k} para k=0,\dots,n.
Aqui \binom{n}{k} é um número combinatório (não negativo), e p^{k}\ge 0, (1-p)^{n-k}\ge 0 porque p\in[0,1]. Produto de números não-negativos é não-negativo. Portanto
\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\ge 0
para todo k no suporte. Isso estabelece a propriedade de não-negatividade.

Passo 3

Binomial — soma das probabilidades = 1 (uso do teorema binomial).
A identidade fundamental que usaremos é o Teorema Binomial: para quaisquer números a,b,
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k}.
Prova rápida e intuitiva do teorema binomial: ao expandir (a+b)^{n}=(a+b)(a+b)\cdots(a+b) (n fatores), cada termo da expansão é formado escolhendo de cada fator seja a ou b; escolher exatamente k vezes a e n-k vezes b gera um termo a^{k}b^{n-k} e há \binom{n}{k} maneiras de escolher quais k fatores deram a. Somando por todos os k obtemos a expansão.
Aplicando com a=p e b=1-p temos
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}=(p+(1-p))^{n}=1^{n}=1.
Portanto a soma dos P(X=k) sobre todo o suporte é 1. Conclusão: a distribuição Binomial satisfaz as duas propriedades.

Passo 4

Geométrico — não-negatividade.
A pmf é P(X=k)=p(1-p)^{k-1} para k=1,2,\dots com p\in(0,1]. Novamente p>0 e (1-p)^{k-1}\ge 0, logo cada P(X=k)\ge 0. (Se p=0 a forma usual falha como distribuição; por isso tomamos p>0.)

Passo 5

Geométrico — soma das probabilidades = 1 (soma geométrica).
A soma das probabilidades é
\sum_{k=1}^{\infty} p(1-p)^{k-1} = p\sum_{k=0}^{\infty} (1-p)^{k}.
A soma \sum_{k=0}^{\infty} r^{k} é a série geométrica; ela converge para \dfrac{1}{1-r} quando |r|<1. Aqui r=1-p e |1-p|<1 porque 0<p\le 1. Uma derivação simples da fórmula da soma parcial: seja S_{n}=1+r+\dots+r^{n}. Então rS_{n}=r+r^{2}+\dots+r^{n+1}. Subtraindo, (1-r)S_{n}=1-r^{n+1}. Fazendo n\to\infty e usando |r|<1 S=\dfrac{1}{1-r}.
Aplicando isso,
\sum_{k=1}^{\infty} p(1-p)^{k-1}=p\cdot\frac{1}{1-(1-p)}=p\cdot\frac{1}{p}=1.
Portanto a soma é 1, mostrando que a Geométrica satisfaz as propriedades de pmf.

Passo 6

Hipergeométrico — não-negatividade.
A pmf é
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}},
com N total, K sucessos na população, n tamanho da amostra sem reposição, e k no intervalo possível. Cada binomial \binom{\cdot}{\cdot} é um número não-negativo e \binom{N}{n}>0 (assumindo 0\le n\le N). Assim P(X=k)\ge 0 para todo k válido.

Passo 7

Hipergeométrico — soma das probabilidades = 1 (prova combinatória / identidade de Vandermonde).
Intuição combinatória clara: o denominador \binom{N}{n} conta todas as maneiras de escolher n objetos dentre N. Para fixar k sucessos escolhidos (de entre os K disponíveis) e n-k falhas (de entre os N-K restantes), o número de maneiras é \binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}. Portanto, somando esse número sobre todos os k possíveis contamos todas as escolhas de n objetos, sem sobreposição entre valores distintos de k. Ou seja,
\sum_{k=\max(0,n-(N-K))}^{\min(n,K)} \binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}=\binom{N}{n}.
Dividindo ambos os lados por \binom{N}{n} obtemos
\sum_{k} \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}} = 1,
que é exatamente a soma das probabilidades. Essa identidade também é conhecida como identidade de Vandermonde e tem uma prova algébrica usando coeficientes de polinômios, mas a prova combinatória que dei é rápida e convincente para uso em prova.

Passo 8

Poisson — não-negatividade.
A pmf é P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k}}{k!} para k=0,1,2,\dots com \lambda>0. Temos e^{-\lambda}>0, \lambda^{k}\ge 0 e k!>0, logo cada P(X=k)\ge 0.

Passo 9

Poisson — soma das probabilidades = 1 (série exponencial).
A soma das probabilidades é
\sum_{k=0}^{\infty} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
A série \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^{k}}{k!} é justamente a expansão em série de Taylor da função exponencial e^{\lambda}. Ou seja,
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{\lambda}.
Logo a soma é
e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}=1.
Isso prova que a Poisson tem soma das probabilidades igual a 1.

Passo 10

Resumo rápido e encorajador (para fixar): em cada caso checamos duas coisas simples — termos não-negativos (típico porque binomiais, potências e fatoriais são não-negativos) e soma = 1. Para somas usamos identidades conhecidas: teorema binomial (Binomial), soma da série geométrica (Geométrica), contagem condicionada / Vandermonde (Hipergeométrica) e série exponencial (Poisson). Se ficar cansado, lembra: sempre que eu vejo uma soma de probabilidades, procuro uma identidade clássica que transforma essa soma numa expressão simples como (p+(1-p))^{n}, \dfrac{1}{1-r}, \binom{N}{n} ou e^{\lambda} — isso resolve rapidinho.

Resposta

\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}=1.
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}p(1-p)^{k-1}=1.
\displaystyle \sum_{k=\max(0,n-(N-K))}^{\min(n,K)}\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}=1.
\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}=1.

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