Exercício 13: Considere um dado equilibrado. Para cada uma das situações abaixo, obtenha a função de probabilidade da variável de interesse e identifique o modelo, se possível.
O dado é lançado 3 vezes, de forma independente. Interesse: número de repetições de faces sorteadas.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está indicado:
  • Lançamos um dado equilibrado (justamente: todas as faces têm mesma probabilidade) \emph{3 vezes}, de forma independente.
  • Interesse: a variável aleatória “número de repetições de faces sorteadas”. Vou definir explicitamente essa variável para não haver ambiguidade: seja X o número de lançamentos (a partir do segundo) que mostram uma face que já apareceu em algum lançamento anterior. Com essa definição X pode assumir os valores \{0,1,2\}:
    • X=0 significa que as três faces foram todas diferentes (nenhuma repetição).
    • X=1 significa que houve exatamente uma repetição (ou seja, apareceu um par e um elemento distinto).
    • X=2 significa que houve duas repetições (ou seja, as três faces são iguais).
  • Precisamos obter a função de probabilidade de X, isto é, \mathbb{P}(X=x) para x\in\{0,1,2\}, e identificar o modelo quando possível.

Passo 2

Tamanho do espaço amostral (número total de resultados possíveis): cada lançamento tem 6 resultados possíveis e os lançamentos são independentes, então o número total de sequências de 3 lançamentos é
6^3 = 216.
Explicação curta: por regra do produto, para escolhas independentes multiplicamos o número de possibilidades de cada etapa.

Passo 3

Cálculo de \mathbb{P}(X=0) (nenhuma repetição, todas as faces distintas).
Contagem direta: escolher 3 faces distintas e ordenar (a ordem importa porque os lançamentos são sequenciais). O número de sequências com 3 faces distintas é o número de permutações de 3 elementos distintos escolhidos dentre 6:
\text{contagens} = 6\cdot 5\cdot 4 = 120.
Logo
\mathbb{P}(X=0)=\dfrac{120}{216}=\dfrac{5}{9}.
Uma forma alternativa (entender como usar na prova): a segunda jogada ser diferente da primeira tem probabilidade \dfrac{5}{6} e, dada essa diferença, a terceira ser diferente das duas anteriores tem probabilidade \dfrac{4}{6}. Multiplicando: \dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{4}{6}=\dfrac{20}{36}=\dfrac{5}{9}, que coincide com a contagem.

Passo 4

Cálculo de \mathbb{P}(X=2) (duas repetições, ou seja, as três faces iguais).
Contagem direta: todas as três são iguais; escolher qual face (6 maneiras) e todas as posições ficam com essa face. Então há 6 sequências desse tipo. Logo
\mathbb{P}(X=2)=\dfrac{6}{216}=\dfrac{1}{36}.
Outra visão rápida: probabilidade de a segunda igualar a primeira é \dfrac{1}{6} e, independentemente, a terceira igualar a primeira também tem probabilidade \dfrac{1}{6}; multiplicando obtemos \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}.

Passo 5

Cálculo de \mathbb{P}(X=1) (exatamente uma repetição, ou seja, aparece exatamente um par e um elemento distinto).
Método prático: usar o total e subtrair os casos já contados:
\text{contagens totais}=216,\quad \text{contagens para }X=0\text{ é }120,\quad \text{para }X=2\text{ é }6.éé
Portanto o número de sequências com exatamente uma repetição é
216-120-6=90.
Logo
\mathbb{P}(X=1)=\dfrac{90}{216}=\dfrac{5}{12}.
Contagem direta alternativa (útil para aprender a contar): escolher o valor que vai aparecer em par ( 6 opções), escolher o valor único ( 5 opções), escolher a posição do elemento único entre as 3 posições ( 3 opções). Multiplicando: 6\cdot5\cdot3=90, como acima.

Passo 6

Interpretação do modelo: essa distribuição vem de um problema de ocupação/multinomial (temos 3 “bolas” lançadas em 6 “caixas” iguais — as faces). Não é uma distribuição binomial simples porque os eventos “o i-ésimo lançamento repete alguma face anterior” não são independentes entre si; portanto não podemos modelar X como \text{Binomial}(n=2,p=\cdot) de forma direta. Uma maneira útil de ver X é como
X = 3 - D,
onde D é o número de faces distintas observadas (que pode ser 1,2,3); o cálculo das probabilidades é feito por contagem combinatória (ocorrência/ocupação) ou pelo raciocínio sequencial mostrado antes.

Resposta

\mathbb{P}(X=0)=\dfrac{120}{216}=\dfrac{5}{9}.
\mathbb{P}(X=1)=\dfrac{90}{216}=\dfrac{5}{12}.
\mathbb{P}(X=2)=\dfrac{6}{216}=\dfrac{1}{36}.

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