Exercício 13: Considere um dado equilibrado. Para cada uma das situações abaixo, obtenha a função de probabilidade da variável de interesse e identifique o modelo, se possível.
O dado é lançado 3 vezes, de forma independente. Interesse: número de repetições de faces sorteadas.
O dado é lançado 3 vezes, de forma independente. Interesse: número de repetições de faces sorteadas.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está indicado:
- Lançamos um dado equilibrado (justamente: todas as faces têm mesma probabilidade) \emph{3 vezes}, de forma independente.
- Interesse: a variável aleatória “número de repetições de faces sorteadas”. Vou definir explicitamente essa variável para não haver ambiguidade: seja
o número de lançamentos (a partir do segundo) que mostram uma face que já apareceu em algum lançamento anterior. Com essa definição pode assumir os valores : -
significa que as três faces foram todas diferentes (nenhuma repetição). -
significa que houve exatamente uma repetição (ou seja, apareceu um par e um elemento distinto). -
significa que houve duas repetições (ou seja, as três faces são iguais).
-
- Precisamos obter a função de probabilidade de
, isto é, para , e identificar o modelo quando possível.
Passo 2
Tamanho do espaço amostral (número total de resultados possíveis): cada lançamento tem
resultados possíveis e os lançamentos são independentes, então o número total de sequências de 3 lançamentos é
Explicação curta: por regra do produto, para escolhas independentes multiplicamos o número de possibilidades de cada etapa.
Passo 3
Cálculo de
(nenhuma repetição, todas as faces distintas).
Contagem direta: escolher 3 faces distintas e ordenar (a ordem importa porque os lançamentos são sequenciais). O número de sequências com 3 faces distintas é o número de permutações de elementos distintos escolhidos dentre
:
Contagem direta: escolher 3 faces distintas e ordenar (a ordem importa porque os lançamentos são sequenciais). O número de sequências com 3 faces distintas é o número de permutações de
Logo
Uma forma alternativa (entender como usar na prova): a segunda jogada ser diferente da primeira tem probabilidade
e, dada essa diferença, a terceira ser diferente das duas anteriores tem probabilidade
. Multiplicando:
, que coincide com a contagem.
Passo 4
Cálculo de
(duas repetições, ou seja, as três faces iguais).
Contagem direta: todas as três são iguais; escolher qual face (6 maneiras) e todas as posições ficam com essa face. Então há sequências desse tipo. Logo
Contagem direta: todas as três são iguais; escolher qual face (6 maneiras) e todas as posições ficam com essa face. Então há
Outra visão rápida: probabilidade de a segunda igualar a primeira é
e, independentemente, a terceira igualar a primeira também tem probabilidade
; multiplicando obtemos
.
Passo 5
Cálculo de
(exatamente uma repetição, ou seja, aparece exatamente um par e um elemento distinto).
Método prático: usar o total e subtrair os casos já contados:
Método prático: usar o total e subtrair os casos já contados:
Portanto o número de sequências com exatamente uma repetição é
Logo
Contagem direta alternativa (útil para aprender a contar): escolher o valor que vai aparecer em par (
opções), escolher o valor único (
opções), escolher a posição do elemento único entre as
posições (
opções). Multiplicando:
, como acima.
Passo 6
Interpretação do modelo: essa distribuição vem de um problema de ocupação/multinomial (temos
“bolas” lançadas em
“caixas” iguais — as faces). Não é uma distribuição binomial simples porque os eventos “o
-ésimo lançamento repete alguma face anterior” não são independentes entre si; portanto não podemos modelar
como
de forma direta. Uma maneira útil de ver
é como
onde
é o número de faces distintas observadas (que pode ser
); o cálculo das probabilidades é feito por contagem combinatória (ocorrência/ocupação) ou pelo raciocínio sequencial mostrado antes.