Exercício 12. Verifique se o espaço vetorial real \left(\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot\right) é gerado pelo conjunto S \doteq\{p, q, r\}, onde:
p(x) \doteq 1+x, \quad q(x) \doteq x+2 x^{2} \quad \text { e } \quad r(x) \doteq 1-x^{2}, \text { para } x \in \mathbb{R}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o espaço vetorial real \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau até 2) é gerado pelo conjunto S=\{p,q,r\}, onde
p(x)=1+x,\quad q(x)=x+2x^2,\quad r(x)=1-x^2.
O conteúdo é o de espaço vetorial finito, dimensão e geração (span). Para mostrar que S gera \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), basta mostrar que S é um conjunto de três vetores linearmente independentes num espaço de dimensão 3.
Passo 2
Escrevemos as coordenadas de p,q,r na base canônica \{1,x,x^2\}:
Como \det(A)\neq0, a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, logo p,q,r são linearmente independentes.
Passo 5
Num espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes forma base. Logo S é base de \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) e, em particular, gera todo o espaço.
Resposta
Sim, o conjunto S=\{p,q,r\} gera \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}).