Exercício 12. Verifique se o espaço vetorial real \left(\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot\right) é gerado pelo conjunto S \doteq\{p, q, r\}, onde:
p(x) \doteq 1+x, \quad q(x) \doteq x+2 x^{2} \quad \text { e } \quad r(x) \doteq 1-x^{2}, \text { para } x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o espaço vetorial real \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau até 2) é gerado pelo conjunto S=\{p,q,r\}, onde
p(x)=1+x,\quad q(x)=x+2x^2,\quad r(x)=1-x^2.
O conteúdo é o de espaço vetorial finito, dimensão e geração (span). Para mostrar que S gera \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), basta mostrar que S é um conjunto de três vetores linearmente independentes num espaço de dimensão 3.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de p,q,r na base canônica \{1,x,x^2\}:
p\longleftrightarrow(1,1,0),\quad q\longleftrightarrow(0,1,2),\quad r\longleftrightarrow(1,0,-1).

Passo 3

Testamos a independência linear resolvendo
\alpha\,p+\beta\,q+\gamma\,r=0
que, em coordenadas, gera o sistema
\begin{cases} \alpha + 0\beta + \gamma = 0,\\\ \alpha + \beta + 0\gamma = 0,\\\\ 0\alpha + 2\beta - \gamma = 0. \end{cases}

Passo 4

O sistema acima tem matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(A) =1\cdot(1\cdot(-1)-0\cdot2) -0\cdot(1\cdot(-1)-0\cdot0) +1\cdot(1\cdot2-1\cdot0) =-1+2=1\neq0.
Como \det(A)\neq0, a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, logo p,q,r são linearmente independentes.

Passo 5

Num espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores linearmente independentes forma base. Logo S é base de \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) e, em particular, gera todo o espaço.

Resposta

Sim, o conjunto S=\{p,q,r\} gera \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}).

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