Exercício 9. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, o subconjunto S do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ), que geram os subespaços vetoriais U, W, U \cap W e U+W. U \doteq[(1,0,0),(1,1,1)], W \doteq[(0,1,0),(0,0,1)] e V \doteq \mathbb{R}^{3}, munido das operações usuais.
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache conjuntos geradores para os subespaços
U = \langle(1,0,0),\,(1,1,1)\rangle, \quad W = \langle(0,1,0),\,(0,0,1)\rangle
de V=\mathbb{R}^3, e também para U\cap W e U+W.
Vamos usar que
um conjunto gera um subespaço quando seu span é exatamente esse subespaço;
U\cap W é formado pelos vetores que estão simultaneamente em U e em W;
U+W é o span da união dos geradores de U e de W.
Passo 2
Como U já está dado como
U = \{\,a(1,0,0) + b(1,1,1) \mid a,b\in\mathbb{R}\},
um conjunto gerador óbvio para U é
S_U = \{(1,0,0),\,(1,1,1)\}.
Passo 3
Do mesmo modo, W é
W = \{\,c(0,1,0) + d(0,0,1)\mid c,d\in\mathbb{R}\},
logo um conjunto gerador de W é
S_W = \{(0,1,0),\,(0,0,1)\}.
Passo 4
Para achar U\cap W\), note que um vetor em \(U\) tem a forma
\[(a+b,\,b,\,b)
e um vetor em W tem a forma
(0,c,d).
Sejam iguais, então
\begin{cases} a + b = 0,\\\ b = c,\\\ b = d. \end{cases}