Exercício 9. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, o subconjunto S do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ), que geram os subespaços vetoriais U, W, U \cap W e U+W.
U \doteq[(1,0,0),(1,1,1)], W \doteq[(0,1,0),(0,0,1)] e V \doteq \mathbb{R}^{3}, munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache conjuntos geradores para os subespaços
U = \langle(1,0,0),\,(1,1,1)\rangle, \quad W = \langle(0,1,0),\,(0,0,1)\rangle
de V=\mathbb{R}^3, e também para U\cap W e U+W.
Vamos usar que
  • um conjunto gera um subespaço quando seu span é exatamente esse subespaço;
  • U\cap W é formado pelos vetores que estão simultaneamente em U e em W;
  • U+W é o span da união dos geradores de U e de W.

Passo 2

Como U já está dado como
U = \{\,a(1,0,0) + b(1,1,1) \mid a,b\in\mathbb{R}\},
um conjunto gerador óbvio para U é
S_U = \{(1,0,0),\,(1,1,1)\}.

Passo 3

Do mesmo modo, W é
W = \{\,c(0,1,0) + d(0,0,1)\mid c,d\in\mathbb{R}\},
logo um conjunto gerador de W é
S_W = \{(0,1,0),\,(0,0,1)\}.

Passo 4

Para achar U\cap W\), note que um vetor em \(U\) tem a forma \[(a+b,\,b,\,b)
e um vetor em W tem a forma
(0,c,d).
Sejam iguais, então
\begin{cases} a + b = 0,\\\ b = c,\\\ b = d. \end{cases}
Daí a = -b\] e \(c=d=b, e todo vetor comum vale
(0,b,b) = b\,(0,1,1).
Logo
U\cap W = \langle(0,1,1)\rangle
e podemos tomar
S_{U\cap W} = \{(0,1,1)\}.

Passo 5

O subespaço soma é
U+W = \langle(1,0,0),(1,1,1),(0,1,0),(0,0,1)\rangle.
Como \dim(U)=2, \dim(W)=2 e \dim(U\cap W)=1, vale
\dim(U+W)=2+2-1=3,
logo U+W=\mathbb{R}^3. Um gerador mínimo para \mathbb{R}^3 é a base canônica, então podemos escolher
S_{U+W} = \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}.

Resposta

S_U = \{(1,0,0),\,(1,1,1)\}
S_W = \{(0,1,0),\,(0,0,1)\}
S_{U\cap W} = \{(0,1,1)\}
S_{U+W} = \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}

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