Exercício 5.3.12. Verifique se os seguintes conjuntos são base do espaço
.
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é uma base do espaço vetorial
(polinômios com coeficientes reais). Para isso precisamos checar duas propriedades:
-
gera (ou seja, todo polinômio em é combinação linear de elementos de ). -
é linearmente independente.
Passo 2
(Prova de geração) Seja
um polinômio qualquer. Então existe
e coeficientes
tais que
Mas isso mostra exatamente que
isto é,
é combinação linear de
. Logo
gera
.
Passo 3
(Prova de independência linear) Suponha que alguma combinação finita dê o polinômio zero:
como polinômio identicamente nulo. Isso significa que todos os coeficientes do polinômio à esquerda são zero. Em particular,
Portanto a única combinação linear que resulta em zero é a trivial, o que prova que os elementos de
são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto
é de fato base de
.