Exercício 5.3.12. Verifique se os seguintes conjuntos são base do espaço V.
\left\{1, x, x^{2}, x^{3}, \ldots\right\}, onde V=\mathbb{R}[x].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = \{1, x, x^{2}, x^{3}, \dots\}
é uma base do espaço vetorial V = \mathbb{R}[x] (polinômios com coeficientes reais). Para isso precisamos checar duas propriedades:
  1. B gera V (ou seja, todo polinômio em \mathbb{R}[x] é combinação linear de elementos de B).
  2. B é linearmente independente.

Passo 2

(Prova de geração) Seja p(x)\in \mathbb{R}[x] um polinômio qualquer. Então existe n\in\mathbb{N} e coeficientes a_{0},a_{1},\dots,a_{n}\in\mathbb{R} tais que
p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}.
Mas isso mostra exatamente que
p(x)=a_{0}\cdot 1 + a_{1}\cdot x + \cdots + a_{n}\cdot x^{n},
isto é, p(x) é combinação linear de 1,x,x^{2},\dots,x^{n}\in B. Logo B gera V.

Passo 3

(Prova de independência linear) Suponha que alguma combinação finita dê o polinômio zero:
c_{0}\cdot 1 + c_{1}\cdot x + \cdots + c_{m}\cdot x^{m} \;=\; 0
como polinômio identicamente nulo. Isso significa que todos os coeficientes do polinômio à esquerda são zero. Em particular,
c_{0}=0,\;c_{1}=0,\;\dots,\;c_{m}=0.
Portanto a única combinação linear que resulta em zero é a trivial, o que prova que os elementos de B são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto \{1, x, x^{2}, x^{3}, \ldots\} é de fato base de \mathbb{R}[x].

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