Exercício 5.3.12. Verifique se os seguintes conjuntos são base do espaço V.
\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\}, onde V=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ b & c\end{array}\right), a, b, c \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = \left\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\right\}
é uma base do espaço
V = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\[4pt]b & c\end{pmatrix} \mid a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.
Como V é o espaço dos matrizes simétricas 2\times2, sua dimensão é 3. Para que S seja base, precisamos mostrar dois fatos:
  1. S é linearmente independente.
  2. S gera (espalha) todo V.]

Passo 2

Vamos checar a independência linear. Denote
E_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad E_2 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad E_3 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Suponha que exista combinação linear nula
\lambda_1E_1 + \lambda_2E_2 + \lambda_3E_3 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Olhe entrada a entrada:
  • Posição (1,1): \lambda_1\cdot1 + \lambda_2\cdot0 + \lambda_3\cdot0 = 0 implica \lambda_1 = 0.
  • Posição (1,2): 0 + \lambda_2\cdot1 + 0 = 0 implica \lambda_2 = 0.
  • Posição (2,2): 0 + 0 + \lambda_3\cdot1 = 0 implica \lambda_3 = 0.
Como só a solução trivial \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 satisfaz a combinação nula, S é linearmente independente.]

Passo 3

Agora mostramos que S gera todo V. Tome uma matriz arbitrária em V:
M = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt]b & c\end{pmatrix},\quad a,b,c\in\mathbb{R}.
Observe que
a\,E_1 \;+\; b\,E_2 \;+\; c\,E_3 = \begin{pmatrix}a & 0 \\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0 & b \\[4pt]b & 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt]0 & c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt]b & c\end{pmatrix} = M.
Logo, qualquer elemento de V é combinação linear de E_1,E_2,E_3, ou seja, S gera V.]

Resposta

O conjunto S é linearmente independente e gera V, portanto é uma base de V.

Exercícios relacionados