Exercício 13. (Apostol seção 1.13 exercício 16.) Seja V um espaço vetorial com produto interno lang<=,rang<=: V times V R e ||: V [0, infty[ a norma que vem deste produto interno. Mostre as seguintes identidades são válidas:
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+lang<= u, vrang<=+lang<= v, urang<=

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço vetorial real V temos um produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e a norma associada
|x| = raizlang<= x,xrang<=
Queremos mostrar que, para quaisquer u,vin V, vale
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+lang<= u, vrang<=+lang<= v, urang<=
Vamos usar a definição de norma ao quadrado e a bilinearidade (e simetria) do produto interno.

Passo 2

Pela definição,
|u+v|^2 ;=;llang<= u+v,;u+vrrang<=

Passo 3

Como o produto interno é bilinear em cada argumento, temos
llang<= u+v,;u+vrrang<= =lang<= u,urang<= ;+;lang<= u,vrang<=;+;lang<= v,urang<=;+;lang<= v,vrang<=

Passo 4

Basta agora reconhecer que lang<= u,urang<==|u|^2 e lang<= v,vrang<==|v|^2. Substituindo na expansão, obtemos
|u+v|^2 =|u|^2+|v|^2+lang<= u,vrang<=+lang<= v,urang<=

Resposta

|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+lang<= u, vrang<=+lang<= v, urang<=

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