Exercício 13. (Apostol seção 1.13 exercício 16.) Seja
um espaço vetorial com produto interno
e
a norma que vem deste produto interno. Mostre as seguintes identidades são válidas:
Passo 1
O enunciado diz que em um espaço vetorial real
temos um produto interno
e a norma associada
Queremos mostrar que, para quaisquer
, vale
Vamos usar a definição de norma ao quadrado e a bilinearidade (e simetria) do produto interno.
Passo 2
Pela definição,
Passo 3
Como o produto interno é bilinear em cada argumento, temos
Passo 4
Basta agora reconhecer que
e
. Substituindo na expansão, obtemos