Exercício 25. Encontre o ponto mais próximo da origem na reta de interseção dos planos
Passo 1
O enunciado pede o ponto da reta de interseção dos planos
e
que fica mais próximo da origem. Este é um problema de otimização em geometria analítica: queremos minimizar a distância ao quadrado
sujeito a duas restrições lineares. A maneira mais direta é usar multiplicadores de Lagrange com duas restrições.
Passo 2
Definimos as funções de restrição
e montamos o Lagrangeano
Passo 3
Calculamos as condições de estacionariedade:
além das duas restrições
Passo 4
Das três primeiras equações expressamos
em função de
e
:
Substituímos em
e
,
obtendo o sistema linear em e
:
obtendo o sistema linear em
Resolvendo, achamos
Passo 5
Finalmente, voltamos em
x,y,z :
Resposta
O ponto mais próximo da origem é