Exercício 25. Encontre o ponto mais próximo da origem na reta de interseção dos planos
2 x+3 y+z=6 e x+2 y+2 z=4

Passo 1

O enunciado pede o ponto da reta de interseção dos planos
2x + 3y + z = 6
e
x + 2y + 2z = 4
que fica mais próximo da origem. Este é um problema de otimização em geometria analítica: queremos minimizar a distância ao quadrado
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
sujeito a duas restrições lineares. A maneira mais direta é usar multiplicadores de Lagrange com duas restrições.

Passo 2

Definimos as funções de restrição
g1(x,y,z) = 2x + 3y + z - 6 = 0, g2(x,y,z) = x + 2y + 2z - 4 = 0
e montamos o Lagrangeano
L(x,y,z,lambda,mu) = x^2 + y^2 + z^2 - lambda,(2x + 3y + z - 6) - mu,(x + 2y + 2z - 4)

Passo 3

Calculamos as condições de estacionariedade:
partial Lpartial x=0 ;Rightarrow; 2x - 2lambda - mu = 0,
partial Lpartial y=0 ;Rightarrow; 2y - 3lambda - 2mu = 0,
partial Lpartial z=0 ;Rightarrow; 2z - lambda - 2mu = 0,
além das duas restrições
2x + 3y + z = 6, x + 2y + 2z = 4

Passo 4

Das três primeiras equações expressamos x,y,z em função de lambda e mu:
x = lambda + mu2, y = 3lambda + 2mu2, z = lambda + 2mu2
Substituímos em
;2x + 3y + z = 6; e
;x + 2y + 2z = 4;,
obtendo o sistema linear em lambda e mu:
7lambda + 5mu = 6, 10lambda + 9mu = 8
Resolvendo, achamos
lambda = 1413, mu = -413

Passo 5

Finalmente, voltamos em x,y,z:
x = 1413 + 12l(-tfrac413r) = 1213,
y = 3cdot1413 + 2cdotl(-413r)2 = 1713,
z = 1413 + 2l(-413r)2 = 313

Resposta

O ponto mais próximo da origem é
l(x,y,zr) = l(tfrac1213,,tfrac1713,,tfrac313r)

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