Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int x e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x e^{2x}\,dx
usando integração por partes. Aqui o conteúdo é a técnica de integração por partes para indefinidas, e os integrandos x e e^{2x} têm domínio máximo \mathbb{R}.

Passo 2

Na fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
escolhemos u = x (de modo que du = dx) dv = e^{2x}\,dx.

Passo 3

Para obter v, integramos dv:
v = \int e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{2}e^{2x}.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
\int x e^{2x}\,dx = u\,v - \int v\,du = x\cdot\Bigl(\tfrac{1}{2}e^{2x}\Bigr) - \int \Bigl(\tfrac{1}{2}e^{2x}\Bigr)\,dx.
Calculamos a integral restante:
\int \tfrac{1}{2}e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{2}\int e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}e^{2x} = \tfrac{1}{4}e^{2x}.

Passo 5

Substituindo de volta:
\int x e^{2x}\,dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = \frac{e^{2x}}{4}\,\bigl(2x - 1\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int x e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{4}\,(2x - 1) + C.

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