Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int 4 x \operatorname{sec} ^{2}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 4x\,\operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx
usando integração por partes, indicando os domínios máximos dos integrandos. O conteúdo é integração por partes e a integral de \tan. A função 4x está definida em todo \mathbb{R} e \operatorname{sec}^{2}(2x) está definida onde \cos(2x)\neq0, ou seja,
x\neq \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Escolhemos
u = 4x,\quad dv = \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx.
Então
du = 4\,dx,
e para obter v calculamos
v = \int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx.

Passo 3

Para achar v fazemos a substituição interna t=2x, dt=2\,dx:
v = \int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx = \frac12\int \operatorname{sec}^{2}(t)\,dt = \frac12\tan(t) = \frac12\tan(2x).

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
temos
\int 4x\,\operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx = 4x\cdot\frac12\tan(2x) - \int \frac12\tan(2x)\cdot4\,dx = 2x\tan(2x) - 2\int \tan(2x)\,dx.

Passo 5

Para \displaystyle\int \tan(2x)\,dx usamos \displaystyle\int \tan(u)\,du = -\ln\lvert\cos(u)\rvert. Com u=2x, du=2\,dx:
\int \tan(2x)\,dx = -\frac12\ln\bigl|\cos(2x)\bigr| + C.
Logo
-2\int \tan(2x)\,dx = -2\Bigl(-\frac12\ln\bigl|\cos(2x)\bigr|\Bigr) = \ln\bigl|\cos(2x)\bigr|.

Passo 6

Reunindo tudo, uma primitiva é
F(x) = 2x\tan(2x) + \ln\bigl|\cos(2x)\bigr| + C,
válida para
x\neq \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

F(x) = 2x\tan(2x) + \ln\bigl|\cos(2x)\bigr| + C,\quad x\neq \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}.

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