Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int x^{3} \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando a técnica de integração por partes. Note que o integrando está definido para todo x\in\mathbb{R}, logo o domínio maximal é \mathbb{R}.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escrevemos a integral na forma
\int u\,dv
fazendo a escolha
u = x^{2}, \quad dv = x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = 2x\,dx,
v = \int x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Para achar v, usamos a substituição t = x^{2}, dt = 2x\,dx, de modo que
v = \int x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac12\int \cos(t)\,dt = \frac12\sin(t) = \frac12\sin\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtém-se
\int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = x^{2}\cdot\frac12\sin\bigl(x^{2}\bigr) - \int \frac12\sin\bigl(x^{2}\bigr)\cdot2x\,dx.
Isso simplifica para
\frac12\,x^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) - \int x\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Falta calcular
\int x\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Usamos de novo t = x^{2}, dt = 2x\,dx, então
\int x\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac12\int \sin(t)\,dt = -\frac12\cos(t) = -\frac12\cos\bigl(x^{2}\bigr).
Substituindo de volta, a primitiva fica
\frac12\,x^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) - \Bigl(-\tfrac12\cos\bigl(x^{2}\bigr)\Bigr) = \frac12\,x^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + \frac12\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac12\,x^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + \frac12\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C, \quad x\in\mathbb{R}. }

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