Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int x^{3} e^{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx
usando integração por partes. Vamos precisar do método de substituição para simplificar o integrando e, em seguida, aplicar a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Observe que x^{3}e^{x^{2}} = x^{2}\cdot x\,e^{x^{2}}. Fazendo a substituição
w = x^{2}, \quad dw = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{2}\,dw,
temos
\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx = \int x^{2}\bigl(x\,e^{x^{2}}\,dx\bigr) = \int w\;e^{w}\;\frac{1}{2}\,dw = \frac{1}{2}\int w\,e^{w}\,dw.

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em \displaystyle\int w\,e^{w}\,dw. Seja
u = w,\quad dv = e^{w}\,dw \quad\Longrightarrow\quad du = dw,\quad v = e^{w}.
Pela fórmula,
\int w\,e^{w}\,dw = w\,e^{w} - \int e^{w}\,dw = w\,e^{w} - e^{w} + C = e^{w}(w - 1) + C.

Passo 4

Voltando à integral original e substituindo w = x^{2}, obtemos
\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\bigl[e^{w}(w - 1)\bigr] + C = \frac{1}{2}e^{x^{2}}\bigl(x^{2} - 1\bigr) + C.

Resposta

\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^{2}}\bigl(x^{2} - 1\bigr) + C.

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