Exercício 13. Dizer que uma sequência \left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n}} de reais é limitada significa, intuitivamente, que se pode encontrar um número M tal que todos os elementos da sequência sejam inferiores a ele em valor absoluto. Matematicamente, isto se escreve : \exists \mathrm{M}>0, \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N},\left|\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right| \leq \mathrm{M}. Negar esta proposição.

Passo 1

O enunciado apresenta a proposição
\exists M>0,\;\forall n\in\mathbb{N},\;|u_n|\le M
que expressa “a sequência (u_n)_n é limitada”. Nosso objetivo é negar essa afirmação lógica.

Passo 2

Para negar uma fórmula com quantificadores usamos as regras gerais:
\neg\bigl(\exists x\,P(x)\bigr)\equiv\forall x\,\neg P(x), \quad \neg\bigl(\forall x\,Q(x)\bigr)\equiv\exists x\,\neg Q(x).
Primeiro aplicamos a negação sobre o quantificador existencial \exists M, depois sobre o universal \forall n.

Passo 3

Negando
\exists M>0,\;\forall n\in\mathbb{N},\;|u_n|\le M
obtemos
\forall M>0,\;\neg\bigl(\forall n\in\mathbb{N},\,|u_n|\le M\bigr) \;\equiv\;\forall M>0,\;\exists n\in\mathbb{N}\,\neg\bigl(|u_n|\le M\bigr).
E a negação do predicado é
\neg\bigl(|u_n|\le M\bigr)\equiv|u_n|>M.

Resposta

\forall M>0,\;\exists n\in\mathbb{N}\;\text{tal que}\;|u_n|>M.

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