Exercício 13. A função arco cosseno é par, ímpar ou nenhuma das duas opções? E quanto a arco seno?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a paridade das funções \operatorname{arccos} e \arcsin. Vamos usar as definições de função par e ímpar e algumas identidades das funções trigonométricas inversas.

Passo 2

A função f é par se, para todo x em seu domínio, valer
f(-x)=f(x),
e é ímpar se
f(-x)=-f(x).

Passo 3

Para f(x)=\arcsin(x) com domínio [-1,1], aplica-se a identidade
\arcsin(-x)=-\arcsin(x).
Logo \arcsin satisfaz f(-x)=-f(x) e, portanto, é função ímpar.

Passo 4

Para g(x)=\operatorname{arccos}(x) com domínio [-1,1], usa-se a identidade
\operatorname{arccos}(-x)=\pi-\operatorname{arccos}(x).
Como \pi-\operatorname{arccos}(x) não coincide nem com \operatorname{arccos}(x) nem com -\operatorname{arccos}(x), a função \operatorname{arccos} não é nem par nem ímpar.

Resposta

A função \operatorname{arccos} não é nem par nem ímpar.
A função \arcsin é ímpar.

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