Esboce o gráfico das seguintes funções:
(d) y=2+\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
y = 2 + \operatorname{sen}\!\Bigl(x + \tfrac{\pi}{4}\Bigr).
O conteúdo é transformações de funções trigonométricas: amplitude, período, deslocamento de fase (horizontal) e translação vertical.

Passo 2

Identificamos a amplitude e o período da parte \operatorname{sen}(x+\frac{\pi}{4}).
A amplitude é \text{amplitude}=1
e o período é
\text{período}=2\pi.í

Passo 3

Determinamos o deslocamento de fase: como aparece x+\tfrac{\pi}{4}, a função \operatorname{sen} x está deslocada \tfrac{\pi}{4} unidades para a esquerda.

Passo 4

Há ainda uma translação vertical: somamos 2, logo todo ponto do seno sobe 2 unidades. A reta média (midline) passa por y=2.

Passo 5

Vamos anotar alguns pontos-chave ao longo de um período:
Argumento \theta = x + \tfrac{\pi}{4}.
  1. \theta=0\Rightarrow x=-\tfrac{\pi}{4}, \operatorname{sen}\theta=0 y=2.
  2. \theta=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}, \operatorname{sen}\theta=1 y=3.
  3. \theta=\pi\Rightarrow x=\tfrac{3\pi}{4}, \operatorname{sen}\theta=0 y=2.
  4. \theta=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow x=\tfrac{5\pi}{4}, \operatorname{sen}\theta=-1 y=1.
  5. \theta=2\pi\Rightarrow x=\tfrac{7\pi}{4}, \operatorname{sen}\theta=0 y=2.

Passo 6

Esboçamos a curva suavemente ligando esses pontos, lembrando que entre eles o seno varia de forma ondulada. A linha média é y=2, o máximo local y=3 e o mínimo local y=1.

Resposta

O gráfico de y=2+\operatorname{sen}\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr) é uma senóide de amplitude 1, período 2\pi, deslocada \tfrac{\pi}{4} para a esquerda e 2 unidades para cima, com pontos principais em
(-\tfrac{\pi}{4},2),\;(\tfrac{\pi}{4},3),\;(\tfrac{3\pi}{4},2),\;(\tfrac{5\pi}{4},1),\;(\tfrac{7\pi}{4},2).

Exercícios relacionados