Exercício 13. Um lote de 25 tubos de televisão a cores é submetido a um procedimento de teste de aceitação. O procedimento consiste em extrair aleatoriamente cinco tubos, sem reposição, e testá-los. Se dois ou menos tubos falharem, os restantes são aceitos. Caso contrário, o lote é rejeitado. Supondo que o lote contenha quatro tubos defeituosos, qual é a probabilidade exata da aceitação do lote?

Passo 1

O enunciado descreve um teste de aceitação por amostragem sem reposição em um lote de N=25 tubos, dos quais D=4 são defeituosos e G=21 são bons. Extraímos n=5 tubos e aceitamos o lote se, nessa amostra, houver no máximo 2 defeituosos. Para resolver, vamos usar a distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Seja X o número de tubos defeituosos na amostra de tamanho n=5. Então
X \sim \text{Hipergeométrica}\bigl(N=25,\;K=4,\;n=5\bigr),é
e
P(X = k) \;=\;\frac{\binom{4}{k}\,\binom{21}{5-k}}{\binom{25}{5}}.
A probabilidade de aceitação é
P(X \le 2) \;=\;\sum_{k=0}^{2} P(X=k) \;=\;\sum_{k=0}^{2} \frac{\binom{4}{k}\,\binom{21}{5-k}}{\binom{25}{5}}.

Passo 3

Calcular o termo k=0: \displaystyle \binom{4}{0}=1, \displaystyle \binom{21}{5}=\frac{21\cdot20\cdot19\cdot18\cdot17}{5!}=20349.
Logo
P(X=0)=\frac{1\cdot20349}{\binom{25}{5}}.

Passo 4

Calcular o termo k=1: \displaystyle \binom{4}{1}=4, \displaystyle \binom{21}{4}=\frac{21\cdot20\cdot19\cdot18}{4!}=5985.
Logo
P(X=1)=\frac{4\cdot5985}{\binom{25}{5}}.

Passo 5

Calcular o termo k=2: \displaystyle \binom{4}{2}=6, \displaystyle \binom{21}{3}=\frac{21\cdot20\cdot19}{3!}=1330.
Logo
P(X=2)=\frac{6\cdot1330}{\binom{25}{5}}.

Passo 6

O total de maneiras de escolher 5 tubos de 25 é
\binom{25}{5}=\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot21}{5!}=53130.
Somando os numeradores:
20349 + 4\cdot5985 + 6\cdot1330 = 20349 + 23940 + 7980 = 52269.
Portanto
P(\text{aceitação}) = \frac{52269}{53130}\approx0,9836.çã

Resposta

\frac{52269}{53130}\approx0,9836.

Exercícios relacionados