Exercício 9. Acredita-se que 20 \% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar por ela. Admitindo que este percentual de alérgicos está correto, sorteamos, aleatoriamente, 13 moradores dessa região e observamos o número de moradores alérgicos dentre eles.
(a) Calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre os 13 selecionados.
(b) Qual é o número esperado de moradores com alergia dentre os 13 selecionados?

Passo 1

O enunciado afirma que em torno de 20 % dos moradores de uma região são alérgicos aos poluentes de uma usina siderúrgica. Sorteamos 13 moradores e definimos a variável aleatória X como o número de alérgicos entre esses 13. Precisamos calcular:
– (a) \Pr(X\ge4).
– (b) \mathbb{E}(X).

Passo 2

Como cada morador é ou alérgico (com probabilidade p=0{,}2) ou não (com probabilidade 1-p=0{,}8), e as escolhas são independentes, temos
X \sim \mathrm{Binomial}\bigl(n=13,\;p=0{,}2\bigr).

Passo 3

Para (a), usamos que
\Pr(X\ge4)=1-\Pr(X\le3).
E
\Pr(X\le3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{13}{k}(0{,}2)^{k}(0{,}8)^{\,13-k}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente cada termo e a soma:
\Pr(X=0)=\binom{13}{0}(0{,}2)^{0}(0{,}8)^{13}\approx0{,}0549,
\Pr(X=1)=\binom{13}{1}(0{,}2)^{1}(0{,}8)^{12}\approx0{,}1786,
\Pr(X=2)=\binom{13}{2}(0{,}2)^{2}(0{,}8)^{11}\approx0{,}2680,
\Pr(X=3)=\binom{13}{3}(0{,}2)^{3}(0{,}8)^{10}\approx0{,}2456.
Somando,
\Pr(X\le3)\approx0{,}0549+0{,}1786+0{,}2680+0{,}2456=0{,}7471.
Logo
\Pr(X\ge4)=1-0{,}7471=0{,}2529\approx0{,}253.

Passo 5

Para (b), a esperança de uma binomial é
\mathbb{E}(X)=n\,p=13\times0{,}2=2{,}6.

Resposta

(a) \Pr(X\ge4)\approx0{,}253
(b) \mathbb{E}(X)=2{,}6

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