• Exercício 13: Quantos flip-flops são necessários para construir um contador binário que conte de 0 a 1023? Com base nisso, determine a frequência de saída do último flip-flop do contador, considerando uma frequência de clock de 2 MHz . Qual é o módulo desse contador? Caso o contador comece em zero, qual valor ele exibirá após 2060 pulsos?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados ele dá:
  • Pergunta 1: Quantos flip-flops são necessários para construir um contador binário que conte de 0 a 1023?
  • Pergunta 2: Com base nisso, qual a frequência de saída do último flip-flop do contador, considerando uma frequência de clock de 2\\ \text{MHz}?
  • Pergunta 3: Qual é o módulo desse contador?
  • Pergunta 4: Se o contador começar em zero, qual valor ele exibirá após 2060 pulsos?
  • Dados fornecidos: o contador deve percorrer os valores 0 a 1023 (ou seja, 1024 estados no total) e a frequência de clock é 2\\ \text{MHz}.

Passo 2

Entender quantos estados um conjunto de n flip-flops pode representar (a ideia básica).
  • Um flip-flop armazena 1 bit, que tem duas possíveis saídas: 0 ou 1.
  • Com n flip-flops temos 2^n estados distintos (todas as combinações possíveis de n bits).
  • Para que um contador represente os números de 0 a 1023 inclusive ele precisa de pelo menos 1024 estados, porque os números são 0,1,2,\dots,1023, totalizando 1024 valores.
  • Então precisamos achar o menor n tal que 2^n \ge 1024.

Passo 3

Calcular n a partir de 2^n \ge 1024.
  • Sabemos que 2^{10}=1024.
  • Como 2^{10}=1024 é exatamente o número de estados necessários, o menor n que satisfaz a desigualdade é n=10.
  • Interpretação prática: são necessários 10 flip-flops para contar de 0 a 1023.

Passo 4

Entender como a frequência de saída de cada flip-flop se relaciona com a frequência de clock (ideia do divisor por 2).
  • Um flip-flop do tipo T (ou um JK configurado para toggling) troca seu estado (0→1 ou 1→0) a cada pulso de clock aplicado ao seu pino de clock. Assim, o seu sinal de saída tem metade da frequência do clock de entrada: é um divisor por 2.
  • Num contador binário em cascata, cada estágio divide por 2 a frequência que chega nele. Se chamarmos o LSB de estádio k=1, então sua frequência é \dfrac{f_{clk}}{2}. O estágio k tem frequência \dfrac{f_{clk}}{2^k}.
  • O último flip-flop (o MSB) em um contador de n bits tem k=n, logo sua frequência é f_{\text{MSB}}=\dfrac{f_{clk}}{2^n}.

Passo 5

Aplicar a fórmula para a frequência do último flip-flop com n=10 e f_{clk}=2\\ \text{MHz}.
  • Converter 2\\ \text{MHz} para hertz: f_{clk}=2{,}000{,}000\\ \text{Hz}.
  • Calcular f_{\text{MSB}}=\dfrac{2{,}000{,}000}{2^{10}}=\dfrac{2{,}000{,}000}{1024}.
  • Fazer a divisão: \dfrac{2{,}000{,}000}{1024}=1953{,}125\\ \text{Hz}.
  • Interpretação: o último flip-flop muda de estado 1{,}953{,}125 vezes por segundo (aproximadamente 1{,}953\\ \text{Hz} com três casas decimais).

Passo 6

Determinar o módulo do contador (o número de estados antes de voltar a zero).
  • Por definição, um contador binário de n bits tem módulo 2^n (porque conta 2^n estados: de 0 até 2^n-1).
  • Com n=10 o módulo é 2^{10}=1024.

Passo 7

Calcular o valor exibido após 2060 pulsos quando o contador começa em zero (usar aritmética modular).
  • Se o contador é módulo M, então após p pulsos, o valor exibido é p \bmod M.
  • Aqui M=1024 e p=2060.
  • Calcular 2060 \div 1024: 1024\times 2 = 2048. O resto é 2060-2048=12.
  • Logo, após 2060 pulsos começando em zero, o contador mostrará o valor 12.
  • Em binário (em 10 bits) esse valor é 0000001100.

Resposta

10 flip-flops
Frequência do último flip-flop: 1953{,}125\\ \text{Hz}
Módulo: 1024
Valor após 2060 pulsos (começando em zero): 12 (binário em 10 bits: 0000001100)

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