• Exercício 17: Projete um oscilador astável com 555 para gerar uma onda aproximadamente quadrada de 40 kHz . O capacitor C deve ser de 500 pF ou maior.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Pedido: projetar um oscilador astável com o circuito integrado 555 que gere uma onda aproximadamente quadrada de 40\\ \text{kHz}.
  • Restrição: o capacitor C deve ser de 500\\ \text{pF} ou maior.
  • Não foram dadas outras condições (por exemplo V_{CC}); vou assumir uma alimentação típica (por ex. V_{CC}=5 a 12\\ \text{V}), pois a frequência do astável básico com 555 não depende fortemente de V_{CC} (exceto por efeitos práticos).
  • O objetivo prático do projeto: escolher C, R_A e R_B do circuito astável padrão do 555 para obter f\approx 40\\ \text{kHz} e uma forma de onda aproximada de onda quadrada (ou seja, duty cycle próximo de 50\%, se possível).

Passo 2

Como funciona o 555 em configuração astável — noções essenciais e derivação das fórmulas que usaremos
Breve descrição física (para você sentir o que acontece): no modo astável o 555 faz o capacitor carregar e descarregar continuamente entre os níveis 1/3\\ V_{CC} e 2/3\\ V_{CC}. Durante o carregamento o capacitor recebe corrente através de R_A e R_B; durante a descarga o transistor interno do 555 conecta o nó de carga ao terra, fazendo o capacitor descarregar só através de R_B. Isso gera pulsos periódicos na saída.
Agora a matemática, com explicação passo a passo.
  • Equação de carga de um capacitor em circuito RC (quando ligado a V_{CC} através de resistência R):
v_C(t)=V_{CC}\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr).
Se queremos saber o tempo para ir de um valor inicial até outro, substituímos esses valores e resolvemos.
  • Tempo em nível alto (saída em “1”): o capacitor carrega de \tfrac{1}{3}V_{CC} até \tfrac{2}{3}V_{CC}. A resistência vista durante a carga é R_A+R_B. Aplicando a fórmula de carga e resolvendo para o tempo entre os dois níveis, obtém-se
t_{H}= (R_A+R_B)\,C\ln 2 \approx 0{,}693\,(R_A+R_B)C.
Explicando a derivação curta: coloca-se v_C(t)=\tfrac{2}{3}V_{CC} e resolve-se sabendo que no início v_C(0)=\tfrac{1}{3}V_{CC}; o fator \ln 2 surge porque \dfrac{2/3 - 1}{1 - 1/3} = \tfrac{1}{2}, i.e. uma queda exponencial até metade, daí \ln(2).
  • Tempo em nível baixo (saída em “0”): o capacitor descarrega de \tfrac{2}{3}V_{CC} até \tfrac{1}{3}V_{CC} através de R_B para o terra. A expressão análoga dá
t_{L}= R_B\,C\ln 2 \approx 0{,}693\,R_B C.
  • Período e frequência:
T = t_H + t_L = 0{,}693\,(R_A+2R_B)C, \qquad f=\dfrac{1}{T} \approx \dfrac{1{,}44}{(R_A+2R_B)C}.
Aqui expliquei: 1/0{,}693\approx1{,}44.
  • Duty cycle (fração do período em nível alto):
\text{Duty} = \dfrac{t_H}{T} = \dfrac{R_A+R_B}{R_A+2R_B}.
Observação prática: com o astável padrão do 555 não se obtém 50\% exato a não ser que se use um diodo para separar caminhos de carga e descarga; sem diodo é normal ficar com duty acima de 50\% a não ser que R_A seja muito pequeno comparado a R_B.

Passo 3

Isolando a relação para projetar: a fórmula que vamos usar para escolher resistores
Partindo de
f \approx \dfrac{1{,}44}{(R_A+2R_B)C},
isolamos o termo que envolve os resistores:
R_A+2R_B \approx \dfrac{1{,}44}{f\,C}.
Essa igualdade é a que vamos usar para escolher valores práticos de R_A e R_B uma vez fixado C.

Passo 4

Escolha inicial de C e cálculo do somatório R_A+2R_B
Pelo enunciado podemos usar C=500\\ \text{pF} (menor permitido) — isso ajuda a manter resistores em valores razoáveis. Então:
  • Converter C:
C = 500\\ \text{pF} = 500\times10^{-12}\\ \text{F} = 5{,}0\times10^{-10}\\ \text{F}.
  • Calcular R_A+2R_B:
R_A+2R_B \approx \dfrac{1{,}44}{f\,C} = \dfrac{1{,}44}{(40{,}000)\times(5{,}0\times10^{-10})} = \dfrac{1{,}44}{2{,}0\times10^{-5}} =72\,000\\ \Omega.
Portanto precisamos de
R_A+2R_B \approx 72\\ \text{k}\Omega.

Passo 5

Escolha prática de R_A e R_B (valores padrão, condicionantes práticos e duty)
Regras práticas que uso para escolher:
  • Valores de resistores muito baixos (alguns ohms) geram correntes altas pelo transistor de descarga; evite R muito pequenos. Um limite prático inferior para R_B é cerca de 1\\ \text{k}\Omega ou mais.
  • Valores muito altos (megaohms) tornam o circuito sensível a correntes de fuga e ruído. Escolher tensões de alguns kΩ a algumas centenas de kΩ é confortável para 555.
  • Usar valores padrão E12/E24 facilita montagem.
Queremos R_A+2R_B\approx72\\ \text{k}\Omega. Uma escolha conveniente com valores padrão é:
  • R_B=33\\ \text{k}\Omega (valor comercial muito comum),
  • Então 2R_B=66\\ \text{k}\Omega,
  • Logo R_A \approx 72\\ \text{k}\Omega - 66\\ \text{k}\Omega = 6\\ \text{k}\Omega.
Valor comercial próximo e fácil de achar: R_A=6{,}2\\ \text{k}\Omega (E12). Vamos checar o resultado com esses valores.

Passo 6

Verificação numérica final: frequência e duty com C=500\\ \text{pF}, R_A=6{,}2\\ \text{k}\Omega, R_B=33\\ \text{k}\Omega
  • Soma necessária real com esses valores:
R_A+2R_B = 6{,}2\\ \text{k}\Omega + 2\times33\\ \text{k}\Omega = 6{,}2+66 = 72{,}2\\ \text{k}\Omega.
  • Frequência calculada:
f \approx \dfrac{1{,}44}{(R_A+2R_B)C} = \dfrac{1{,}44}{(72{,}2\times10^{3})\times(5{,}0\times10^{-10})} \approx 39{,}9\\ \text{kHz}.
Isso está muito próximo de 40\\ \text{kHz}.
  • Duty cycle:
\text{Duty} = \dfrac{R_A+R_B}{R_A+2R_B} = \dfrac{6{,}2+33}{72{,}2} = \dfrac{39{,}2}{72{,}2}\approx0{,}543 \approx54{,}3\%.
Portanto a onda é ligeiramente mais alta que 50\%, mas ainda “aproximadamente quadrada”. Se for necessário duty mais próximo de 50\%, veja observações no próximo passo.

Passo 7

Observações práticas, alternativas e dicas para a prova e para a montagem
  • Se você quiser duty muito próximo de 50\%: use um diodo em paralelo com R_B (um diodo em série com R_A ou paralelo com R_B dependendo do arranjo) para separar caminhos de carga e descarga; esse truque permite ajustar separadamente tempos de subida e descida e obter cerca de 50\%. Outra alternativa é usar um flip-flop para dividir a frequência por 2 e obter exatamente 50\%.
  • Se preferir usar um capacitor maior (por exemplo 1\\ \text{nF}) para reduzir influência de capacitâncias parasitas e facilitar montagem, refaça o cálculo: com C=1\\ \text{nF} (o dobro) ficaria R_A+2R_B\approx36\\ \text{k}\Omega — escolheria então R_B=18\\ \text{k}\Omega e R_A=0 ou R_A\approx0{,}2\\ \text{k}\Omega etc.; preferível escolher R_B=18\\ \text{k}\Omega e R_A=3{,}3\\ \text{k}\Omega (valores padrão) e recalcular, mas atenção ao trade-off entre correntes e ruído.
  • Use capacitores de bom fator de dissipaçao (cerâmica NP0/C0G ou filme) para frequências altas; capacitores cerâmicos de classe X7R podem ter variação de capacitância com tensão e temperatura.
  • Decouple o V_{CC} do 555 com um capacitor de 0{,}1\\ \mu\text{F} próximo ao CI para evitar oscilações indesejadas.
  • Para frequências da ordem de dezenas de kHz o 555 padrão funciona bem; para frequências muito altas (centenas de kHz) pode ser preferível um CMOS 555 (por ex. TLC555) que tem menor consumo e melhor desempenho em alta frequência.
  • Considere tolerâncias de resistores (1% melhor) e do capacitor (talvez 5–10%); isso afeta a frequência final.

Passo 8

Resumo do projeto (valores recomendados prontos para montar)
  • C = 500\\ \text{pF} (mínimo pedido — preferir NP0/C0G ou capacitor de filme se possível)
  • R_A = 6{,}2\\ \text{k}\Omega (E12)
  • R_B = 33\\ \text{k}\Omega (E12)
  • Resultado aproximado: f\approx39{,}9\\ \text{kHz}, duty \approx54{,}3\%.
Montagem prática: ligar conforme esquema astável padrão do 555 (pinos 2 e 6 juntos ao nó do capacitor; pino 3 saída; pino 7 ao nó entre R_A e R_B; pino 4 a V_{CC}; pino 1 a terra). Não esqueça o capacitor de desacoplamento de 0{,}1\\ \mu\text{F} entre V_{CC} e terra perto do CI.

Resposta

C=500\\ \text{pF},\\ R_A=6{,}2\\ \text{k}\Omega,\\ R_B=33\\ \text{k}\Omega\;\Rightarrow\;f\approx39{,}9\\ \text{kHz},\\ \text{Duty}\approx54{,}3\%

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