Exercício 13. Seja
. Use a regra do quociente para derivar e depois compare com a forma simplificada da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (a) derivar usando a regra do quociente; (b) comparar o resultado com a derivada obtida a partir da forma simplificada da função. Informações relevantes: a função está escrita como quociente de duas funções polinomiais; note que em
temos
(ou seja, a expressão original fica indeterminada nesse ponto), mas para
podemos manipular algébrica e diferenciar normalmente.
Passo 2
Vou te lembrar da regra do quociente — é uma ferramenta padrão para derivar uma razão
. A regra do quociente diz:
Aqui
é o numerador e
é o denominador;
e
são as derivadas de cada um. É importante entender que essa fórmula vale somente onde
(mais abaixo a gente cuida de
). Agora vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Identificamos as partes:
Derivando cada uma (lembrando que a derivada de
é
e a derivada de uma constante é
):
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Agora desenvolve o numerador passo a passo:
então
Assim
Passo 5
Agora vamos simplificar essa razão racional. Uma estratégia prática é tentar fatorar o numerador; se ele contiver
como fator, vai cancelar com o denominador. Testando (ou fazendo divisão polinomial), notamos que
Posso checar rápido multiplicando:
, confere. Então
Ou seja, para todo
diferente de
, a derivada obtida pela regra do quociente simplifica para
.
Passo 6
Agora vamos simplificar a própria função original antes de derivar — isso é uma habilidade muito útil na prova: fatorar e cancelar quando possível. Repare na diferença de cubos:
Essa é uma identidade conhecida (diferença de cubos). Assim, para
,
Passo 7
Derivando a forma simplificada
usando regras básicas (derivada de
é
, de
é
, constante some):
Portanto, a derivada da forma simplificada coincide com o resultado que obtivemos pela regra do quociente para
.
Passo 8
Comentário sobre
: a expressão original
não está definida em
(é
). A forma simplificada
define um polinômio que tem valor
em
. Podemos estender a função removendo a descontinuidade e definindo
; essa extensão é contínua e sua derivada em
seria
. Mas tecnicamente, a derivada obtida pela regra do quociente só foi validade garantida para
, porque o denominador da regra exigia
.