Exercício 13. Seja f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}. Use a regra do quociente para derivar e depois compare com a forma simplificada da função.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1} e pede duas coisas: (a) derivar usando a regra do quociente; (b) comparar o resultado com a derivada obtida a partir da forma simplificada da função. Informações relevantes: a função está escrita como quociente de duas funções polinomiais; note que em x=1 temos 0/0 (ou seja, a expressão original fica indeterminada nesse ponto), mas para x\neq1 podemos manipular algébrica e diferenciar normalmente.

Passo 2

Vou te lembrar da regra do quociente — é uma ferramenta padrão para derivar uma razão u(x)/v(x). A regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) é o denominador; u'(x) e v'(x) são as derivadas de cada um. É importante entender que essa fórmula vale somente onde v(x)\neq0 (mais abaixo a gente cuida de x=1). Agora vamos aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Identificamos as partes:
u(x)=x^{3}-1,\qquad v(x)=x-1.
Derivando cada uma (lembrando que a derivada de x^{n} é n x^{n-1} e a derivada de uma constante é 0):
u'(x)=3x^{2},\qquad v'(x)=1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{3x^{2}(x-1)-(x^{3}-1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}.
Agora desenvolve o numerador passo a passo:
3x^{2}(x-1)=3x^{3}-3x^{2},
então
3x^{2}(x-1)-(x^{3}-1)=3x^{3}-3x^{2}-x^{3}+1=2x^{3}-3x^{2}+1.
Assim
f'(x)=\frac{2x^{3}-3x^{2}+1}{(x-1)^{2}},\qquad x\neq1.

Passo 5

Agora vamos simplificar essa razão racional. Uma estratégia prática é tentar fatorar o numerador; se ele contiver (x-1)^{2} como fator, vai cancelar com o denominador. Testando (ou fazendo divisão polinomial), notamos que
2x^{3}-3x^{2}+1=(2x+1)(x-1)^{2}.
Posso checar rápido multiplicando: (2x+1)(x^{2}-2x+1)=2x^{3}-3x^{2}+1, confere. Então
f'(x)=\frac{(2x+1)(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}}=2x+1,\qquad x\neq1.
Ou seja, para todo x diferente de 1, a derivada obtida pela regra do quociente simplifica para 2x+1.

Passo 6

Agora vamos simplificar a própria função original antes de derivar — isso é uma habilidade muito útil na prova: fatorar e cancelar quando possível. Repare na diferença de cubos:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Essa é uma identidade conhecida (diferença de cubos). Assim, para x\neq1,
f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}=x^{2}+x+1.

Passo 7

Derivando a forma simplificada x^{2}+x+1 usando regras básicas (derivada de x^{2} é 2x, de x é 1, constante some):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+x+1\bigr)=2x+1.
Portanto, a derivada da forma simplificada coincide com o resultado que obtivemos pela regra do quociente para x\neq1.

Passo 8

Comentário sobre x=1: a expressão original \frac{x^{3}-1}{x-1} não está definida em x=1 0/0). A forma simplificada x^{2}+x+1 define um polinômio que tem valor 3 em x=1. Podemos estender a função removendo a descontinuidade e definindo f(1)=3; essa extensão é contínua e sua derivada em 1 seria 2\cdot1+1=3. Mas tecnicamente, a derivada obtida pela regra do quociente só foi validade garantida para x\neq1, porque o denominador da regra exigia v(x)\neq0.

Resposta

f'(x)=2x+1,\qquad x\neq1
f(x)=x^{2}+x+1 (para x\neq1), cuja derivada é \,2x+1.

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