Exercício 9. Seja f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+1}. Use a regra do quociente para calcular f^{\prime}(x) e simplifique o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f usando a regra do quociente e simplificar o resultado. As informações dadas são:
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+1}.
Dados importantes extraídos do enunciado:
\text{numerador: } u(x)=x^{2}, \qquad \text{denominador: } v(x)=x^{3}+1.
A tarefa é achar f'(x) aplicando a regra do quociente e deixar o resultado o mais simples possível.

Passo 2

Apresentando e entendendo a regra do quociente. Se tivermos duas funções \,u(x)\, e \,v(x)\, com v(x)\neq 0, a regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
O que isso significa, passo a passo:
  • u' é a derivada do numerador u(x).
  • v' é a derivada do denominador v(x).
  • Você multiplica u' por v, subtrai u vezes v' e divide tudo por v^{2}.
    Ordem importante: sempre u'v - u v' no numerador (trocar significaria sinal errado).

Passo 3

Calcular as derivadas de u e v usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para n real,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando aos nossos casos:
u(x)=x^{2}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=2x,
v(x)=x^{3}+1\quad\Rightarrow\quad v'(x)=3x^{2}.
Explicação curta e concreta: para x^{2} tiramos o expoente 2 e reduzimos o expoente para 1; para x^{3} tiramos 3 e reduzimos para 2; a constante +1 some ao derivar.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente com os u, v, u' e v' que encontramos:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(2x)\,(x^{3}+1)-(x^{2})\,(3x^{2})}{(x^{3}+1)^{2}}.
Aqui cada termo tem interpretação:
  • (2x)(x^{3}+1) corresponde a u'v,
  • (x^{2})(3x^{2}) corresponde a u v',
  • o denominador final é v^{2}=(x^{3}+1)^{2}.

Passo 5

Simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro expandimos os produtos:
(2x)(x^{3}+1)=2x\cdot x^{3}+2x\cdot 1=2x^{4}+2x,
(x^{2})(3x^{2})=3x^{4}.
Subtraindo:
2x^{4}+2x-3x^{4}=(2x^{4}-3x^{4})+2x=-x^{4}+2x.
Fatorando o numerador para simplificar a forma:
-x^{4}+2x=x(-x^{3}+2)=x(2-x^{3}).
O denominador permanece (x^{3}+1)^{2}. Observação importante: a derivada não está definida quando x^{3}+1=0, ou seja, em x=-1, porque aí o denominador seria zero.

Passo 6

Resumo do que obtivemos (sem repetir a resposta final em forma de fração neste passo): o numerador simplificado é x(2-x^{3}) e o denominador é (x^{3}+1)^{2}. A partir desses componentes podemos escrever a expressão final da derivada (veja a seção de resposta).

Resposta

f'(x)=\frac{x(2-x^{3})}{(x^{3}+1)^{2}}

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