Exercício 9. Seja
. Use a regra do quociente para calcular
e simplifique o resultado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
usando a regra do quociente e simplificar o resultado. As informações dadas são:
Dados importantes extraídos do enunciado:
A tarefa é achar
aplicando a regra do quociente e deixar o resultado o mais simples possível.
Passo 2
Apresentando e entendendo a regra do quociente. Se tivermos duas funções
e
com
, a regra do quociente diz:
O que isso significa, passo a passo:
-
é a derivada do numerador . -
é a derivada do denominador . - Você multiplica
por , subtrai vezes e divide tudo por .
Ordem importante: sempreno numerador (trocar significaria sinal errado).
Passo 3
Calcular as derivadas de
e
usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para
real,
Aplicando aos nossos casos:
Explicação curta e concreta: para
tiramos o expoente
e reduzimos o expoente para
; para
tiramos
e reduzimos para
; a constante
some ao derivar.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente com os
,
,
e
que encontramos:
Aqui cada termo tem interpretação:
-
corresponde a , -
corresponde a , - o denominador final é
.
Passo 5
Simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro expandimos os produtos:
Primeiro expandimos os produtos:
Subtraindo:
Fatorando o numerador para simplificar a forma:
O denominador permanece
. Observação importante: a derivada não está definida quando
, ou seja, em
, porque aí o denominador seria zero.
Passo 6
Resumo do que obtivemos (sem repetir a resposta final em forma de fração neste passo): o numerador simplificado é
e o denominador é
. A partir desses componentes podemos escrever a expressão final da derivada (veja a seção de resposta).