Exercício 13. Simplifique as seguintes expressões:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas que são relevantes:
- O numerador é a fração
. - O denominador é a fração
. - Para a expressão estar bem definida, os denominadores originais não podem ser zero, ou seja
, e . Logo , e .
Não vamos resolver ainda — só identifiquei o que o problema pede e os dados.
Passo 2
Regra importante: dividir frações equivale a multiplicar pela recíproca. Mais formalmente, para quaisquer números ou expressões não nulas
e
,
Aqui
,
,
,
representam numeradores e denominadores das frações; o único cuidado é que nenhum dos denominadores envolvidos seja zero. Essa é a regra que vamos aplicar ao nosso caso.
Passo 3
Aplicando a regra ao problema, trocamos a divisão pela multiplicação pela recíproca do denominador:
Aqui eu escrevi explicitamente a recíproca de
, que é
.
Passo 4
Para multiplicar duas frações, multiplicamos numeradores entre si e denominadores entre si. Assim:
Expliquei: o numerador fica o produto
e o denominador fica o produto
.
Passo 5
Observação algébrica útil (identidade): diferença de quadrados.
Para quaisquer e
vale
Para quaisquer
Aqui podemos reconhecer
como
e
como
.
Passo 6
Usando a identidade do passo anterior, reescrevemos a fração de forma compacta:
Verificação de possíveis cancelamentos: os fatores do numerador dependem de
e os do denominador dependem de
, portanto não há fatores algébricos comuns para cancelar (a menos que uma relação especial entre
e
seja imposta, mas não é o caso aqui). Mantemos também as restrições de domínio obtidas no Passo 1:
,
e
.
Passo 7
Resumo final das formas equivalentes simplificadas (ambas corretas e frequentemente usadas):
com as restrições
e
.