Exercício 13. Simplifique as seguintes expressões:
\frac{\frac{x-4}{y+3}}{\frac{y-3}{x+4}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\frac{x-4}{y+3}}{\frac{y-3}{x+4}}.
Informações dadas que são relevantes:
  • O numerador é a fração \frac{x-4}{y+3}.
  • O denominador é a fração \frac{y-3}{x+4}.
  • Para a expressão estar bem definida, os denominadores originais não podem ser zero, ou seja \;y+3\neq0, \;y-3\neq0 e \;x+4\neq0. Logo \;y\neq-3, \;y\neq3 e \;x\neq-4.
    Não vamos resolver ainda — só identifiquei o que o problema pede e os dados.

Passo 2

Regra importante: dividir frações equivale a multiplicar pela recíproca. Mais formalmente, para quaisquer números ou expressões não nulas \frac{a}{b} e \frac{c}{d},
\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}.
Aqui a, b, c, d representam numeradores e denominadores das frações; o único cuidado é que nenhum dos denominadores envolvidos seja zero. Essa é a regra que vamos aplicar ao nosso caso.

Passo 3

Aplicando a regra ao problema, trocamos a divisão pela multiplicação pela recíproca do denominador:
\frac{\frac{x-4}{y+3}}{\frac{y-3}{x+4}} = \frac{x-4}{y+3}\cdot\frac{x+4}{y-3}.
Aqui eu escrevi explicitamente a recíproca de \frac{y-3}{x+4}, que é \frac{x+4}{y-3}.

Passo 4

Para multiplicar duas frações, multiplicamos numeradores entre si e denominadores entre si. Assim:
\frac{x-4}{y+3}\cdot\frac{x+4}{y-3} = \frac{(x-4)(x+4)}{(y+3)(y-3)}.
Expliquei: o numerador fica o produto (x-4)(x+4) e o denominador fica o produto (y+3)(y-3).

Passo 5

Observação algébrica útil (identidade): diferença de quadrados.
Para quaisquer u e v vale
(u-v)(u+v)=u^{2}-v^{2}.
Aqui podemos reconhecer (x-4)(x+4) como x^{2}-4^{2}=x^{2}-16 e (y+3)(y-3) como y^{2}-3^{2}=y^{2}-9.

Passo 6

Usando a identidade do passo anterior, reescrevemos a fração de forma compacta:
\frac{(x-4)(x+4)}{(y+3)(y-3)} = \frac{x^{2}-16}{y^{2}-9}.
Verificação de possíveis cancelamentos: os fatores do numerador dependem de x e os do denominador dependem de y, portanto não há fatores algébricos comuns para cancelar (a menos que uma relação especial entre x e y seja imposta, mas não é o caso aqui). Mantemos também as restrições de domínio obtidas no Passo 1: y\neq-3, y\neq3 e x\neq-4.

Passo 7

Resumo final das formas equivalentes simplificadas (ambas corretas e frequentemente usadas):
\frac{(x-4)(x+4)}{(y-3)(y+3)} \quad\text{e}\quad \frac{x^{2}-16}{y^{2}-9},
com as restrições y\neq\pm3 e x\neq-4.

Resposta

\dfrac{(x-4)(x+4)}{(y-3)(y+3)} = \dfrac{x^{2}-16}{y^{2}-9}

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