com a ressalva de que \;x\neq\frac{1}{3} (ponto onde a expressão não está definida). Vou resolver cada uma delas passo a passo.
Passo 3
Resolver a primeira desigualdade
\frac{2x-3}{3x-1}>2.
Subtraio 2 dos dois lados e coloco tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{2x-3}{3x-1}-2>0.
Transformando em uma única fração:
\frac{2x-3-2(3x-1)}{3x-1}>0.
Calculo o numerador:
2x-3-2(3x-1)=2x-3-6x+2=-4x-1.
Portanto a desigualdade é equivalente a
\frac{-4x-1}{3x-1}>0.
Multiplicar por -1 (troca o sinal da desigualdade) dá uma forma mais simples para analisar sinais:
\frac{4x+1}{3x-1}<0.
Passo 4
Agora resolvemos a inequação de sinal
\frac{4x+1}{3x-1}<0.
Identificamos os pontos críticos que trocam o sinal da fração: zeros do numerador e zeros do denominador.
Numerador 4x+1=0 em x=-\tfrac{1}{4}.
Denominador 3x-1=0 em x=\tfrac{1}{3} (esse ponto é excluído do domínio).
Fazemos um quadro de sinais ou testamos intervalos determinados por esses pontos: ordenando-os temos -\infty < -\tfrac{1}{4} < \tfrac{1}{3} < +\infty.
Testamos um valor em cada intervalo:
Para x<-\tfrac{1}{4}: numerador 4x+1<0, denominador 3x-1<0 (pois x<\tfrac{1}{3}), fração >0.
Para -\tfrac{1}{4}<x<\tfrac{1}{3}: numerador 4x+1>0, denominador 3x-1<0, fração <0 (satisfaz).
Para x>\tfrac{1}{3}: numerador 4x+1>0, denominador 3x-1>0, fração >0.
Como queremos estritamente <0, incluímos apenas o intervalo onde a fração é negativa e excluímos pontos onde a fração vale zero ou é indefinida. O numerador zera em x=-\tfrac{1}{4} (aí a fração vale 0, não serve) e o denominador zera em x=\tfrac{1}{3} (indefinido). Assim a solução da primeira inequação é
\left(-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{3}\right).
Passo 5
Agora resolvemos a segunda desigualdade
\frac{2x-3}{3x-1}<-2.
Faço procedimento análogo: somo 2 aos dois lados (ou subtraio e recoloco):
\frac{2x-3}{3x-1}+2<0.
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{2x-3+2(3x-1)}{3x-1}<0.
Calculo o numerador:
2x-3+2(3x-1)=2x-3+6x-2=8x-5.
Então a inequação é equivalente a
\frac{8x-5}{3x-1}<0.
Passo 6
Analisamos os sinais de
\frac{8x-5}{3x-1}<0.
Pontos críticos:
Numerador 8x-5=0 em x=\tfrac{5}{8}.
Denominador 3x-1=0 em x=\tfrac{1}{3} (novamente excluído).
Para x<\tfrac{1}{3}: numerador 8x-5<0, denominador 3x-1<0, fração >0.
Para \tfrac{1}{3}<x<\tfrac{5}{8}: numerador 8x-5<0, denominador 3x-1>0, fração <0 (satisfaz).
Para x>\tfrac{5}{8}: numerador 8x-5>0, denominador 3x-1>0, fração >0.
Queremos estritamente <0, então tomamos o intervalo onde a fração é negativa. Excluímos x=\tfrac{5}{8} (onde numerador é zero e a fração vale 0) e x=\tfrac{1}{3} (onde é indefinida). A solução da segunda inequação é
\left(\tfrac{1}{3},\,\tfrac{5}{8}\right).
Passo 7
Unimos as soluções das duas alternativas (lembre: a condição era “ou”):
Confirmamos que \tfrac{1}{3} não pertence ao conjunto (denominador zero) e que os extremos -\tfrac{1}{4} e \tfrac{5}{8} não pertencem porque as desigualdades são estritas.