Exercício 13. Simplifique as seguintes expressões:
\frac{\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}}{a}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}}{a}.
Informações/dados fornecidos:
\text{a expressão é } \frac{\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}}{a}.ãé
Condições implícitas que precisamos lembrar: os denominadores não podem ser zero, portanto devemos ter x\neq 0, x\neq -a e a\neq 0.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: interpretar a divisão por a como multiplicação por \frac{1}{a}. Ou seja,
\frac{\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}}{a}=\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}\right)\cdot\frac{1}{a}.
Explicação didática: dividir por um número é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso (recíproco). O recíproco de a é \frac{1}{a}.

Passo 3

Agora vamos calcular a diferença de frações que está entre parênteses:
\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}.
Para subtrair frações com denominadores diferentes usamos o denominador comum, que aqui é x(x+a). Escrevemos cada fração com esse denominador comum:
\frac{1}{x+a}=\frac{x}{x(x+a)} \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x}=\frac{x+a}{x(x+a)}.
Explicação didática: para transformar \frac{1}{x+a} em uma fração com denominador x(x+a) multiplicamos numerador e denominador por x; para \frac{1}{x} multiplicamos numerador e denominador por x+a.

Passo 4

Subtraindo as duas frações já com o mesmo denominador:
\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}=\frac{x}{x(x+a)}-\frac{x+a}{x(x+a)}=\frac{x-(x+a)}{x(x+a)}.
Agora simplificamos o numerador x-(x+a):
x-(x+a)=x-x-a=-a.
Portanto a diferença fica
\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}=\frac{-a}{x(x+a)}.

Passo 5

Voltando à expressão original usando o resultado do passo anterior:
\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}\right)\cdot\frac{1}{a}=\frac{-a}{x(x+a)}\cdot\frac{1}{a}.
Explicação didática: multiplicar frações é multiplicar numeradores entre si e denominadores entre si.

Passo 6

Multiplicando as frações obtemos
\frac{-a}{x(x+a)}\cdot\frac{1}{a}=\frac{-a}{a\,x(x+a)}.
Aqui aparece o fator a no numerador e no denominador, e como a\neq 0 podemos cancelar esse fator comum (dividimos numerador e denominador por a). Isso reduz a expressão ao resultado final (escrito na seção de resposta).

Passo 7

Observações finais e lembretes práticos para a prova:
  • Sempre que fizer cancelamento verifique que o fator cancelado não é zero (aqui usamos a\neq 0).
  • Mantenha o controle das proibições de domínio: x\neq 0 e x\neq -a.
  • Dica rápida para a prova: ao ver uma diferença de frações, já pense no denominador comum; e ao ver uma fração dividida por algo, converta para multiplicação por recíproco — isso economiza tempo e evita erros.

Resposta

-\dfrac{1}{x(x+a)}

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