Exercício 14. Para cada função a seguir, determine a\) de maneira que \(f\) seja contínua na origem: \(f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ a-4 & \text { caso contrário. }\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1} & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] a-4 & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que o problema pede: determinar o valor de a de modo que f seja contínua na origem (0,0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita para f(x,y) quando (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}.
  • O valor de f na origem está dado por f(0,0)=a-4.
  • Para que f seja contínua em (0,0) é necessário que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) exista e seja igual a a-4.]

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição prática de continuidade no ponto (0,0): f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
No nosso caso isso significa calcular
L:=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}
e depois impor L=a-4. Então o objetivo imediato é calcular L.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão \dfrac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}. A técnica útil aqui é racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{y^{2}+1}+1. Realizando isso:
\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1} = \frac{x^{2}y^{2}\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big)}{\big(\sqrt{y^{2}+1}-1\big)\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big)}.
No denominador o produto do conjugado dá
\big(\sqrt{y^{2}+1}-1\big)\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big)=\big(y^{2}+1\big)-1=y^{2}.
Portanto, para pontos com y\neq0 (onde essa álgebra é válida),
\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1} = x^{2}\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big).
Observação: embora a expressão original tenha denominador zero quando y=0, o que interessa para o limite em (0,0) são valores da função em pontos que se aproximam da origem (com y possivelmente diferente de 0). A simplificação acima é válida para esses pontos (com y\neq0) e permite calcular o limite.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento quando (x,y)\to(0,0). Note que a função g(y)=\sqrt{y^{2}+1}+1 é contínua em y e, em particular,
\lim_{y\to0} \big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big)=\sqrt{0+1}+1=1+1=2.
Também sabemos que \lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}=0. Usando a propriedade de limites (produto de limites quando ambos existem e finitos), obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big) = \Big(\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}\Big)\cdot\Big(\lim_{y\to0}\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big)\Big) = 0\cdot 2=0.
Portanto o limite L existe e vale 0.

Passo 5

Para tornar a justificativa mais clara e rígida (controle de magnitude), pode-se usar uma estimativa: para |y|\le 1 tem-se \sqrt{y^{2}+1}\le \sqrt{2}, logo \sqrt{y^{2}+1}+1\le \sqrt{2}+1<3. Assim, para (x,y) próximos da origem com |y|\le 1,
\left|\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}\right| =|x^{2}|\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big) \le 3\,x^{2}.
Como 3x^{2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue novamente que o limite é 0. Isso mostra que não há dependência de caminho problemática: todos os caminhos que se aproximam da origem dão limite 0.

Passo 6

Concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}=0.
Pela definição de continuidade, é preciso ter f(0,0)=a-4 igual a esse limite. Assim impomos
a-4=0.

Passo 7

Resolve-se para a:
a=4.

Resposta

a=4

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