Exercício 14. Para cada função a seguir, determine a\) de maneira que \(f\) seja contínua na origem:
\(f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ a-4 & \text { caso contrário. }\end{cases}
e depois impor L=a-4. Então o objetivo imediato é calcular L.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão \dfrac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}. A técnica útil aqui é racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{y^{2}+1}+1. Realizando isso:
Observação: embora a expressão original tenha denominador zero quando y=0, o que interessa para o limite em (0,0) são valores da função em pontos que se aproximam da origem (com y possivelmente diferente de 0). A simplificação acima é válida para esses pontos (com y\neq0) e permite calcular o limite.
Passo 4
Agora analisamos o comportamento quando (x,y)\to(0,0). Note que a função g(y)=\sqrt{y^{2}+1}+1 é contínua em y e, em particular,
Para tornar a justificativa mais clara e rígida (controle de magnitude), pode-se usar uma estimativa: para |y|\le 1 tem-se \sqrt{y^{2}+1}\le \sqrt{2}, logo \sqrt{y^{2}+1}+1\le \sqrt{2}+1<3. Assim, para (x,y) próximos da origem com |y|\le 1,
Como 3x^{2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue novamente que o limite é 0. Isso mostra que não há dependência de caminho problemática: todos os caminhos que se aproximam da origem dão limite 0.