Exercício 14. Para cada função a seguir, determine a\) de maneira que \(f\) seja contínua na origem: \(f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x y}\right) & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ a & \text { caso contrário. }\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de a\) de modo que a função \[f(x,y)= \begin{cases} \left(x^{2}+y^{2}\right)\sin\!\left(\dfrac{1}{xy}\right), & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] a, & \text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
seja contínua na origem ((0,0)].
Informações relevantes dadas:
  • A função está definida por uma expressão multiplicando \left(x^{2}+y^{2}\right) por \sin\!\left(\dfrac{1}{xy}\right) fora da origem.
  • Observação importante sobre domínio: a expressão \sin\!\left(\dfrac{1}{xy}\right) só faz sentido quando xy\neq0. Vou entender que a definição fora da origem vale para os pontos em que a expressão está bem definida (isto é, para (x,y) tal que xy\neq0); isso não impede avaliar o limite para (x,y)\to(0,0) através de pontos do domínio arbitrariamente próximos da origem.
  • O enunciado quer continuação em (0,0). Lembrete: para f ser contínua em (0,0) é necessário e suficiente que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
exista e seja igual a a. Portanto precisamos calcular esse limite e igualá-lo a a.]

Passo 2

Estratégia e ferramenta que vamos usar: o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para funções de duas variáveis.
Lembrete didático do Teorema do Confronto (versão para multivariáveis): se existem funções g(x,y) e h(x,y) tais que, numa vizinhança da origem (exceto possivelmente na própria origem),
g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y)
e se \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)=L,
então \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L.
Aplicação prática: sabemos que para todo número real t vale -1\le\sin t\le 1. Assim, onde \sin\!\left(\dfrac{1}{xy}\right) está definido (ou seja xy\neq0),
-1 \le \sin\!\left(\dfrac{1}{xy}\right) \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por \left(x^{2}+y^{2}\right), que é não negativa, obtemos:
-(x^{2}+y^{2}) \le \left(x^{2}+y^{2}\right)\sin\!\left(\dfrac{1}{xy}\right) \le x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Agora analisamos os limites das funções que “confrontam” f.
A função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} tende a 0 quando (x,y)\to(0,0), porque
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}+y^{2}=0.
Da mesma forma -(x^{2}+y^{2}) tende a 0. Portanto as duas funções que usamos para confrontar f têm o mesmo limite 0.
Pelo Teorema do Confronto, a desigualdade do Passo 2 implica
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(x^{2}+y^{2}\right)\sin\!\left(\dfrac{1}{xy}\right)=0.
Observação prática/intuitiva: embora \sin\!\left(\dfrac{1}{xy}\right) oscile muito quando xy fica pequeno, o fator multiplicativo x^{2}+y^{2} faz com que a amplitude das oscilações seja esmagada para zero.

Passo 4

Conclusão sobre a continuidade: como
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0,
a função f será contínua na origem exatamente quando o valor atribuído em (0,0) for igual a esse limite. Ou seja, devemos escolher
a=0.

Resposta

a=0

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