Exercício 14. Para cada função a seguir, determine
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
seja contínua na origem ((0,0)].
Informações relevantes dadas:
- A função está definida por uma expressão multiplicando
por fora da origem. - Observação importante sobre domínio: a expressão
só faz sentido quando . Vou entender que a definição fora da origem vale para os pontos em que a expressão está bem definida (isto é, para tal que ); isso não impede avaliar o limite para através de pontos do domínio arbitrariamente próximos da origem. - O enunciado quer continuação em
. Lembrete: para ser contínua em é necessário e suficiente que
exista e seja igual a
. Portanto precisamos calcular esse limite e igualá-lo a
.]
Passo 2
Estratégia e ferramenta que vamos usar: o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para funções de duas variáveis.
Lembrete didático do Teorema do Confronto (versão para multivariáveis): se existem funções
e
tais que, numa vizinhança da origem (exceto possivelmente na própria origem),
e se
,
então .
então
Aplicação prática: sabemos que para todo número real
vale
. Assim, onde
está definido (ou seja
),
Multiplicando essa desigualdade por
, que é não negativa, obtemos:
Passo 3
Agora analisamos os limites das funções que “confrontam”
.
A função
tende a
quando
, porque
Da mesma forma
tende a
. Portanto as duas funções que usamos para confrontar
têm o mesmo limite
.
Pelo Teorema do Confronto, a desigualdade do Passo 2 implica
Observação prática/intuitiva: embora
oscile muito quando
fica pequeno, o fator multiplicativo
faz com que a amplitude das oscilações seja esmagada para zero.
Passo 4
Conclusão sobre a continuidade: como
a função
será contínua na origem exatamente quando o valor atribuído em
for igual a esse limite. Ou seja, devemos escolher