Exercício 14. Para cada função a seguir, determine a\) de maneira que \(f\) seja contínua na origem:
\(f(x, y)= \begin{cases}\frac{y^{2} \operatorname{sen} x \cos y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ a^{2}-4 a-5 & \text { caso contrário. }\end{cases}
A pergunta é: determinar os valores de a para os quais f é contínua na origem (0,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A expressão da função fora da origem é \dfrac{y^{2}\,\sin x \,\cos y}{x^{2}+y^{2}}.
O valor atribuído em (0,0) é a^{2}-4a-5.
Para f ser contínua em (0,0) é necessário que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) exista e seja igual a a^{2}-4a-5.]
Passo 2
Primeiro, vou escrever a condição de continuidade que vou usar: f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{2}\,\sin x \,\cos y}{x^{2}+y^{2}} = a^{2}-4a-5.
Portanto o problema se reduz a calcular o limite
L:=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{2}\,\sin x \,\cos y}{x^{2}+y^{2}},
e em seguida resolver a equação a^{2}-4a-5 = L.
Explicação rápida do que é esse limite: queremos o valor que a expressão toma quando o ponto (x,y) se aproxima da origem por qualquer caminho. Se esse valor existe e é único, então é o limite.
Passo 3
Para calcular L é prático usar coordenadas polares. Definindo
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
temos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e (x,y)\to(0,0) equivale a r\to 0^{+} (o ângulo \theta fica livre). Vou substituir na expressão.
Substituindo:
y^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta, \qquad \sin x = \sin(r\cos\theta), \qquad \cos y = \cos(r\sin\theta),
e o denominador é x^{2}+y^{2}=r^{2}. Assim, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{y^{2}\,\sin x \,\cos y}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{2}\sin^{2}\theta\;\sin(r\cos\theta)\;\cos(r\sin\theta)}{r^{2}} = \sin^{2}\theta\;\sin(r\cos\theta)\;\cos(r\sin\theta).
Passo 4
Agora vou estimar o módulo dessa expressão para mostrar que tende a zero quando r\to0.
Usarei duas desigualdades elementares que são muito úteis e fáceis de lembrar:
|\sin t|\le |t| para todo t\in\mathbb{R}.
|\cos t|\le 1 para todo t\in\mathbb{R}.
Aplicando estas desigualdades com t=r\cos\theta e t=r\sin\theta, obtemos
\left|\frac{y^{2}\,\sin x \,\cos y}{x^{2}+y^{2}}\right| \le r\; \big|\sin^{2}\theta\cos\theta\big|.
Note que \big|\sin^{2}\theta\cos\theta\big|\le 1 para todo \theta. Assim
\left|\frac{y^{2}\,\sin x \,\cos y}{x^{2}+y^{2}}\right| \le r.
Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), a desigualdade acima implica que a expressão tende a 0. Portanto o limite existe e é
L = 0.
Comentário intuitivo: apesar do denominador x^{2}+y^{2} ser da ordem r^{2}, o numerador tem um fator extra \sin x que é da ordem r, junto com y^{2} que é r^{2}, resultando em um efeito extra de r que manda toda a razão a zero.
Passo 5
Voltando à condição de continuidade, precisamos de