Exercício 14 Considere, no plano complexo, um polgono regular cujos vértices sao as solucoes da equacao z^{6}=1. Determine a área deste polígono, em unidades de área.
Passo 1
O enunciado diz que os vértices de um polígono regular no plano complexo são as soluções de
z^{6}=1.
Isso significa que os vértices são as raízes sexta-raízes da unidade, isto é, \displaystyle z_k = e^{\,i\frac{k\pi}{3}} para k=0,1,\dots,5.
O que precisamos é a área desse polígono regular de 6 lados.
Passo 2
Primeiro percebemos geometricamente que esses pontos formam um hexágono regular centrado na origem, com circunferência inscrita (circunraio) igual a \displaystyle R=1,
pois \lvert e^{\,i\theta}\rvert=1 para todo \theta.
Passo 3
Para usar uma fórmula direta, calculamos o comprimento do lado s do hexágono, que é a distância entre dois vértices adjacentes, por exemplo entre e^{\,i\cdot0} e e^{\,i\frac{\pi}{3}}: