Exercício 14 Considere, no plano complexo, um polgono regular cujos vértices sao as solucoes da equacao z^{6}=1. Determine a área deste polígono, em unidades de área.

Passo 1

O enunciado diz que os vértices de um polígono regular no plano complexo são as soluções de
z^{6}=1.
Isso significa que os vértices são as raízes sexta-raízes da unidade, isto é, \displaystyle z_k = e^{\,i\frac{k\pi}{3}} para k=0,1,\dots,5.
O que precisamos é a área desse polígono regular de 6 lados.

Passo 2

Primeiro percebemos geometricamente que esses pontos formam um hexágono regular centrado na origem, com circunferência inscrita (circunraio) igual a \displaystyle R=1,
pois \lvert e^{\,i\theta}\rvert=1 para todo \theta.

Passo 3

Para usar uma fórmula direta, calculamos o comprimento do lado s do hexágono, que é a distância entre dois vértices adjacentes, por exemplo entre e^{\,i\cdot0} e e^{\,i\frac{\pi}{3}}:
s = \bigl\lvert e^{\,i\cdot0} - e^{\,i\frac{\pi}{3}}\bigr\rvert = \bigl\lvert 1 - \bigl(\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\bigr\rvert = \sqrt{\Bigl(1-\tfrac12\Bigr)^{2} + \Bigl(0-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2}} = 1.

Passo 4

A área A de um polígono regular de n lados de comprimento s é dada pela fórmula
A = \frac{n\,s^{2}}{4\tan\bigl(\frac{\pi}{n}\bigr)}.
Aqui n=6 e s=1.

Passo 5

Substituindo na fórmula, usamos \tan\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{1}{\sqrt{3}}:
A = \frac{6\cdot1^{2}}{4\tan\bigl(\frac{\pi}{6}\bigr)} = \frac{6}{4\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}

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