Determine todos os valores de a para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
(c) tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear nas incógnitas x,y,z com parâmetro a:
As perguntas que precisamos responder são:
(a) Determinar todos os valores de a para os quais o sistema tem uma única solução.
(b) Determinar todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução.
(c) Determinar todos os valores de a para os quais o sistema tem infinitas soluções; nesse caso, dar o conjunto solução do sistema.
Coeficientes do sistema (matriz dos coeficientes) e o termo independente dependem de a.
Precisamos estudar como o número de soluções muda conforme a.
Passo 2
Estratégia e ideia-chave (explicada de forma didática): para um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas, a existência e unicidade de solução dependem da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & a & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] a & 4 & 2 \end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (única).
Se \det(A)=0 então A é singular e pode ocorrer ou nenhuma solução (sistema incompatível) ou infinitas soluções (sistema compatível com grau de liberdade positivo). Para distinguir esses casos usa-se o posto (rank) da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada.
Vou primeiro calcular \det(A). Lembre que para uma matriz 3\times3 é prático usar a expansão pela primeira linha (ou regra de Sarrus). Expansão pela primeira linha dá:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]a & 2\end{pmatrix} =2\cdot 2 - 1\cdot a =4 - a.
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]a & 4\end{pmatrix} =2\cdot 4 - (-1)\cdot a =8 + a.
Agora substituir na expressão do determinante:
\det(A)=1\cdot(-6) - a\cdot(4-a) + 1\cdot(8+a).
Simplificando:
\det(A) = -6 -4a + a^2 +8 + a = a^2 -3a +2.
Fatorando o polinômio quadrático:
\det(A)=a^2 -3a +2 = (a-1)(a-2).]
Passo 4
Conclusão inicial sobre unicidade: a condição para ter solução única é \det(A)\neq 0. Como \det(A)=(a-1)(a-2), concluímos que
\det(A)\neq 0 para todo a tal que a\neq 1 e a\neq 2.
Portanto, para a\neq 1 e a\neq 2 o sistema terá uma única solução. Para os valores a=1 e a=2 temos \det(A)=0 e é preciso analisar separadamente os dois casos (possíveis compatibilidade/incompatibilidade).
Passo 5
Caso a=1. Substituir a=1 no sistema e fazer eliminação para verificar compatibilidade.
O sistema vira
\left\{\begin{array}{r} x + y + z = 3 \\[4pt] 2x - y + z = 1 \\[4pt] x + 4y + 2z = 6 \end{array}\right.
Escrevo a matriz aumentada e faço operações elementares (uso a primeira equação como pivô):
o que corresponde à equação 0x+0y+0z=-2, ou seja 0=-2, contradição. Portanto o sistema é incompatível para a=1: não tem solução.]
Passo 6
Caso a=2\). Substituir \(a=2\) no sistema e fazer eliminação para verificar o tipo de solução e, se houver infinitas, encontrar a solução geral.
Com \(a=2\) o sistema é
\[\left\{\begin{array}{r} x + 2y + z = 3 \\[4pt] 2x - y + z = 2 \\[4pt] 2x + 4y + 2z = 6 \end{array}\right.
Agora a matriz está em forma que mostra claramente uma linha nula; as duas primeiras linhas dão equações independentes. O sistema reduzido é equivalente a
\begin{cases} x + 2y + z = 3,\\[4pt] -5y - z = -4,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
A segunda equação pode ser escrita como
5y + z = 4.
Temos 3\] incógnitas e apenas \(2 equações independentes: grau de liberdade 1 (uma família infinita de soluções). Vamos parametrizar.]
Passo 7
Parametrização das soluções no caso a=2 (explicando cada escolha): escolho z como parâmetro livre, chamo z=t com t\in\mathbb{R}. A partir de 5y+z=4,