Exercício 14. Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
\left\{\begin{array}{r} x+a y+z=3 \\\\ 2 x-y+z=a \\\ a x+4 y+2 z=6 \end{array}\right.
Determine todos os valores de a para os quais o sistema:
(a) tem uma única solução;
(b) não tem solução;
(c) tem infinitas soluções. Nesse caso dê o conjunto solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear nas incógnitas x,y,z com parâmetro a:
\left\{\begin{array}{r} x+a y+z=3 \\\\ 2 x-y+z=a \\\ a x+4 y+2 z=6 \end{array}\right.
As perguntas que precisamos responder são:
(a) Determinar todos os valores de a para os quais o sistema tem uma única solução.
(b) Determinar todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução.
(c) Determinar todos os valores de a para os quais o sistema tem infinitas soluções; nesse caso, dar o conjunto solução do sistema.
Informações relevantes dadas (já escritas explicitamente):
  • Coeficientes do sistema (matriz dos coeficientes) e o termo independente dependem de a.
  • Precisamos estudar como o número de soluções muda conforme a.

Passo 2

Estratégia e ideia-chave (explicada de forma didática): para um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas, a existência e unicidade de solução dependem da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & a & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] a & 4 & 2 \end{pmatrix}.
  • Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (única).
  • Se \det(A)=0 então A é singular e pode ocorrer ou nenhuma solução (sistema incompatível) ou infinitas soluções (sistema compatível com grau de liberdade positivo). Para distinguir esses casos usa-se o posto (rank) da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada.
Vou primeiro calcular \det(A). Lembre que para uma matriz 3\times3 é prático usar a expansão pela primeira linha (ou regra de Sarrus). Expansão pela primeira linha dá:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix} - a\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]a & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]a & 4\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular cada menor e simplificar a expressão do determinante, passo a passo:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix} =(-1)\cdot 2 - 1\cdot 4 = -2-4 = -6.
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]a & 2\end{pmatrix} =2\cdot 2 - 1\cdot a =4 - a.
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]a & 4\end{pmatrix} =2\cdot 4 - (-1)\cdot a =8 + a.
Agora substituir na expressão do determinante:
\det(A)=1\cdot(-6) - a\cdot(4-a) + 1\cdot(8+a).
Simplificando:
\det(A) = -6 -4a + a^2 +8 + a = a^2 -3a +2.
Fatorando o polinômio quadrático:
\det(A)=a^2 -3a +2 = (a-1)(a-2).]

Passo 4

Conclusão inicial sobre unicidade: a condição para ter solução única é \det(A)\neq 0. Como \det(A)=(a-1)(a-2), concluímos que
  • \det(A)\neq 0 para todo a tal que a\neq 1 e a\neq 2.
    Portanto, para a\neq 1 e a\neq 2 o sistema terá uma única solução. Para os valores a=1 e a=2 temos \det(A)=0 e é preciso analisar separadamente os dois casos (possíveis compatibilidade/incompatibilidade).

Passo 5

Caso a=1. Substituir a=1 no sistema e fazer eliminação para verificar compatibilidade.
O sistema vira
\left\{\begin{array}{r} x + y + z = 3 \\[4pt] 2x - y + z = 1 \\[4pt] x + 4y + 2z = 6 \end{array}\right.
Escrevo a matriz aumentada e faço operações elementares (uso a primeira equação como pivô):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 4 & 2 & 6 \end{array}\right).
Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2: \quad (2-2\cdot1,\\\ -1-2\cdot1,\\\ 1-2\cdot1,\\\ 1-2\cdot3) = (0,\\\ -3,\\\ -1,\\\ -5).
Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 1\cdot R_1:
R_3: \quad (1-1,\\\ 4-1,\\\ 2-1,\\\ 6-3) = (0,\\\ 3,\\\ 1,\\\ 3).
Agora as linhas 2 e 3 são
R_2=(0,\\\ -3,\\\ -1,\\\ -5),\qquad R_3=(0,\\\ 3,\\\ 1,\\\ 3).
Somando R_2+R_3 obtemos:
(0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ -2),
o que corresponde à equação 0x+0y+0z=-2, ou seja 0=-2, contradição. Portanto o sistema é incompatível para a=1: não tem solução.]

Passo 6

Caso a=2\). Substituir \(a=2\) no sistema e fazer eliminação para verificar o tipo de solução e, se houver infinitas, encontrar a solução geral. Com \(a=2\) o sistema é \[\left\{\begin{array}{r} x + 2y + z = 3 \\[4pt] 2x - y + z = 2 \\[4pt] 2x + 4y + 2z = 6 \end{array}\right.
Matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}\right).
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2: (2-2,\\\ -1-4,\\\ 1-2,\\\ 2-6) = (0,\\\ -5,\\\ -1,\\\ -4).
Faço R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
R_3: (2-2,\\\ 4-4,\\\ 2-2,\\\ 6-6) = (0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 0).
Agora a matriz está em forma que mostra claramente uma linha nula; as duas primeiras linhas dão equações independentes. O sistema reduzido é equivalente a
\begin{cases} x + 2y + z = 3,\\[4pt] -5y - z = -4,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
A segunda equação pode ser escrita como
5y + z = 4.
Temos 3\] incógnitas e apenas \(2 equações independentes: grau de liberdade 1 (uma família infinita de soluções). Vamos parametrizar.]

Passo 7

Parametrização das soluções no caso a=2 (explicando cada escolha): escolho z como parâmetro livre, chamo z=t com t\in\mathbb{R}. A partir de 5y+z=4,
5y = 4 - z \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{4 - z}{5} = \frac{4 - t}{5}.
A partir de x+2y+z=3,
x = 3 - 2y - z.
Substituindo y e z em termos de t:
x = 3 - 2\cdot\frac{4 - t}{5} - t.
Calculo passo a passo:
2\cdot\frac{4 - t}{5} = \frac{8 - 2t}{5},\qquad 3 = \frac{15}{5},
portanto
x = \frac{15}{5} - \frac{8 - 2t}{5} - \frac{5t}{5} = \frac{15 -8 +2t -5t}{5} = \frac{7 -3t}{5}.
Assim a solução geral quando a=2 é
\left(x,y,z\right)=\left(\frac{7 -3t}{5},\\ \frac{4 - t}{5},\\ t\right),\qquad t\in\mathbb{R}.
Podemos escrever em forma vetorial (opcional, para ficar mais elegante):
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7/5\\[4pt]4/5\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-3/5\\[4pt]-1/5\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Resumo lógico das respostas (sem cálculos adicionais): conseguimos:
  • Determinar os valores de a que tornam \det(A)\neq 0 (unicidade).
  • Analisar separadamente a=1 (inconsistente, sem solução) e a=2 (compatível singular, infinitas soluções) e obter a solução geral para a=2.

Resposta

(a) a\neq 1 e a\neq 2.
(b) a=1.
(c) a=2. Conjunto solução:
\left\{ \left(\frac{7 -3t}{5},\\ \frac{4 - t}{5},\\ t\right)\\ \middle|\\ t\in\mathbb{R}\right\}.

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