(b) Determinar o conjunto solução do sistema linear homogêneo cujos coeficientes formam a matriz M\), ou seja, resolver
\[\begin{cases} y - z + 2w = 0,\\[4pt] x + 3y + z = 0,\\[4pt] 2x + 3w = 0,\\[4pt] 4x - 2y + z + 2w = 0. \end{cases}
Informações relevantes dadas (extraídas diretamente do enunciado):
A matriz de coeficientes é exatamente M\] acima.
- O sistema é homogêneo (vetor lado direito igual a zero).
- Não há outras informações numéricas além dos elementos de \(M.]
Passo 2
Breve aula sobre determinante e operações elementares (o que vou usar).
O determinante de uma matriz quadrada é um número associado que, entre outras coisas, indica se a matriz é invertível: a matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
Operações elementares e seu efeito no determinante:
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
Estratégia prática: usar trocas e somas de linhas (eliminações) para obter uma forma em que o determinante seja fácil de calcular (por exemplo bloco triangular). Vou fazer isso explicitando cada operação e seu efeito.
Passo 3
Primeira operação: trocar a linha 1 com a linha 2 para obter um pivô não nulo na primeira posição. Essa troca muda o sinal do determinante.
\text{Troca } L_1 \leftrightarrow L_2 \quad(\Rightarrow\\ \det \text{ muda de sinal})
Assim \det(B)=15. Como \det(\widetilde{M}) = 1\cdot \det(B), temos \det(\widetilde{M})=15. Lembrando a troca inicial de linhas, \det(M) = -\det(\widetilde{M}). Portanto
\det(M) = -15.]
Passo 6
Interpretação importante para o sistema homogêneo:
Para o sistema homogêneo M\mathbf{v}=\mathbf{0}, se \det(M)\neq 0 então a matriz M é invertível e a única solução é a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}.
Já calculamos \det(M) = -15 \neq 0. Assim, sem gastar mais conta, podemos concluir que o sistema homogêneo só tem a solução trivial.
Ainda assim, para treinar eliminação e verificar concretamente, faço a eliminação completa (já iniciada nos passos anteriores) e mostro que leva a x=y=z=w=0.
Passo 7
Retomando a matriz já parcialmente reduzida obtida no Passo 4 (com o vetor de termos constantes sendo o vetor nulo):
cujo determinante já calculamos no Passo 5 e é 15\neq 0. Logo esse subsistema só admite z=0 e w=0. Substituindo em L_2: y - z + 2w = 0 dá y=0. Finalmente em L_1: x + 3y + z = 0 dá x=0. Assim
x=y=z=w=0.]
Resposta
(a) \det(M) = -15
(b) O conjunto solução é \{(0,0,0,0)\}