Exercício 11.

(a) Calcule o determinante da seguinte matriz.
M=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 & 3 \\\\ 4 & -2 & 1 & 2 \end{array}\right] .
(b) Determine o conjunto solução do seguinte sistema linear homogêneo que tem como matriz de coeficientes a matriz M.
\left\{\begin{aligned} y-z+2 w & =0 \\\ x+3 y+z & =0 \\\\ 2 x+3 w & =0 \\\\ 4 x-2 y+z+2 w & =0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular o determinante da matriz
M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 & 3 \\\\ 4 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
  • (b) Determinar o conjunto solução do sistema linear homogêneo cujos coeficientes formam a matriz M\), ou seja, resolver \[\begin{cases} y - z + 2w = 0,\\[4pt] x + 3y + z = 0,\\[4pt] 2x + 3w = 0,\\[4pt] 4x - 2y + z + 2w = 0. \end{cases}
Informações relevantes dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • A matriz de coeficientes é exatamente M\] acima. - O sistema é homogêneo (vetor lado direito igual a zero). - Não há outras informações numéricas além dos elementos de \(M.]

Passo 2

Breve aula sobre determinante e operações elementares (o que vou usar).
  • O determinante de uma matriz quadrada é um número associado que, entre outras coisas, indica se a matriz é invertível: a matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
  • Operações elementares e seu efeito no determinante:
    • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
    • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
    • Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
  • Estratégia prática: usar trocas e somas de linhas (eliminações) para obter uma forma em que o determinante seja fácil de calcular (por exemplo bloco triangular). Vou fazer isso explicitando cada operação e seu efeito.

Passo 3

Primeira operação: trocar a linha 1 com a linha 2 para obter um pivô não nulo na primeira posição. Essa troca muda o sinal do determinante.
\text{Troca } L_1 \leftrightarrow L_2 \quad(\Rightarrow\\ \det \text{ muda de sinal})
Matriz após a troca:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\\\ 2 & 0 & 0 & 3 \\\\ 4 & -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Nota: se eu chamar de \widetilde{M} essa matriz, então \det(M) = -\det(\widetilde{M}).

Passo 4

Eliminar abaixo do pivô da primeira coluna usando somas de linhas (essas operações não alteram o determinante).
  • L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1.
  • L_4 \leftarrow L_4 - 4L_1.
Calculemos cada nova linha:
  • L_3 = (2,0,0,3) - 2(1,3,1,0) = (0,-6,-2,3).
  • L_4 = (4,-2,1,2) - 4(1,3,1,0) = (0,-14,-3,2).
Matriz resultante:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & -6 & -2 & 3 \\\\ 0 & -14 & -3 & 2 \end{pmatrix}.
Como a primeira coluna agora tem apenas 1 na posição (1,1) e zeros abaixo, podemos afirmar que
\det(\widetilde{M}) = 1 \cdot \det(B),
onde B é a submatriz 3\times3 formada pelas linhas 2\!:\!4 e colunas 2\!:\!4:
B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] -6 & -2 & 3\\[4pt] -14 & -3 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular \det(B) usando eliminações (somar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante).
  • Faço L_2 \leftarrow L_2 + 6L_1 para zerar a entrada (-6) em (2,1).
  • Faço L_3 \leftarrow L_3 + 14L_1 para zerar a entrada (-14) em (3,1).
Cálculos:
  • Nova L_2 = (-6,-2,3) + 6(1,-1,2) = (0,-8,15).
  • Nova L_3 = (-14,-3,2) + 14(1,-1,2) = (0,-17,30).
Assim B transforma-se em
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -8 & 15\\[4pt] 0 & -17 & 30 \end{pmatrix}.
Agora expandimos pelo primeiro coluna (ou reconhecemos que \det(B) = 1 vezes o determinante do 2\times2 inferior direito). Portanto
\det(B)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-8 & 15 \\[4pt] -17 & 30\end{pmatrix}.
Calcule o determinante do 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-8 & 15 \\[4pt] -17 & 30\end{pmatrix} = (-8)\cdot 30 - 15\cdot(-17).
Compute passo a passo:
(-8)\cdot 30 = -240, \qquad 15\cdot(-17) = -255,
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-240 - (-255) = -240 + 255 = 15.
Assim \det(B)=15. Como \det(\widetilde{M}) = 1\cdot \det(B), temos \det(\widetilde{M})=15. Lembrando a troca inicial de linhas, \det(M) = -\det(\widetilde{M}). Portanto
\det(M) = -15.]

Passo 6

Interpretação importante para o sistema homogêneo:
  • Para o sistema homogêneo M\mathbf{v}=\mathbf{0}, se \det(M)\neq 0 então a matriz M é invertível e a única solução é a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}.
  • Já calculamos \det(M) = -15 \neq 0. Assim, sem gastar mais conta, podemos concluir que o sistema homogêneo só tem a solução trivial.
Ainda assim, para treinar eliminação e verificar concretamente, faço a eliminação completa (já iniciada nos passos anteriores) e mostro que leva a x=y=z=w=0.

Passo 7

Retomando a matriz já parcialmente reduzida obtida no Passo 4 (com o vetor de termos constantes sendo o vetor nulo):
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & -6 & -2 & 3 \\\\ 0 & -14 & -3 & 2 \end{pmatrix}\! \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\\[2pt] w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Já fiz as operações que zeram as entradas embaixo do pivô da segunda coluna:
  • L_3 \leftarrow L_3 + 6L_2\) e \(L_4 \leftarrow L_4 + 14L_2\). Isso dá \[\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & -8 & 15 \\\\ 0 & 0 & -17 & 30 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\\[2pt] w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
As duas últimas linhas formam o sistema
\begin{cases} -8z + 15w = 0,\\[4pt] -17z + 30w = 0. \end{cases}
Trate como um sistema 2\times2\] em \((z,w). A matriz de coeficientes é
\begin{pmatrix}-8 & 15\\[4pt] -17 & 30\end{pmatrix},
cujo determinante já calculamos no Passo 5 e é 15\neq 0. Logo esse subsistema só admite z=0 e w=0. Substituindo em L_2: y - z + 2w = 0 y=0. Finalmente em L_1: x + 3y + z = 0 x=0. Assim
x=y=z=w=0.]

Resposta

(a) \det(M) = -15
(b) O conjunto solução é \{(0,0,0,0)\}

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