• Exercício 4.14. Em uma fábrica, uma grande folha de plástico ( \mathrm{k}=1,94 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ), com 12 mm de espessura, deve ser colada a uma folha de cortiça ( \mathrm{k}=0,037 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) de 25 mm de espessura. Para obter ligadura, a cola deve ser mantida a 50^{\circ} \mathrm{C} por um considerável período de tempo. Isto se consegue aplicando uniformemente um fluxo de calor sobre a superfície do plástico. O lado de cortiça, exposto ao ar ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}, tem um coeficiente de película de 10 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Desprezando a resistência térmica da cola, calcule:
    a) o fluxo de calor por m2 aplicado para se obter a temperatura na interface com cola;
    b) as temperaturas nas superfícies externas do plástico e da cortiça.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Condutividade térmica do plástico: k_p = 1,94\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}.
  • Espessura do plástico: L_p = 12\\ \mathrm{mm} = 0,012\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica da cortiça: k_c = 0,037\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)}.
  • Espessura da cortiça: L_c = 25\\ \mathrm{mm} = 0,025\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura desejada na interface (plástico/cola/cortiça): T_i = 50^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty = 25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção na face externa da cortiça: h = 10\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot ^\circ C)}.
  • Despreza-se a resistência térmica da cola.
    O enunciado pede:
    (a) o fluxo de calor por metro quadrado aplicado na face externa do plástico para obter T_i=50^\circ\mathrm{C};
    (b) as temperaturas nas superfícies externas do plástico e da cortiça.

Passo 2

Modelo físico e ideia de resolução (sem ainda calcular):
  • Em regime estacionário unidimensional, o fluxo de calor por unidade de área \dot{q}'' que entra pela face externa do plástico tem de atravessar o plástico, atravessar a cortiça e ser cedido ao ar por convecção. Assim as três resistências térmicas relevantes por unidade de área estão em série: resistência de condução do plástico, resistência de condução da cortiça e resistência de convecção na face externa da cortiça.
  • Em circuito térmico análogo a um circuito elétrico, para uma diferença de temperatura entre a interface e o ar vale
\dot{q}''=\frac{T_i-T_\infty}{R_c+R_{\mathrm{conv}}},
onde R_c é a resistência de condução da cortiça por m ^2 e R_{\mathrm{conv}} é a resistência de convecção por m ^2. A resistência do plástico aparece quando quisermos a temperatura da face externa do plástico:
T_{\text{plástico,ext}}=T_i+\dot{q}''\,R_p,á
porque ao deslocar-se da interface para a face externa do plástico a temperatura aumenta de \dot{q}''R_p.
  • Vou explicar cada resistência e como calculá‑las.

Passo 3

Definição e cálculo das resistências térmicas por unidade de área:
  • Resistência de condução através de uma lâmina homogênea de espessura L e condutividade k (por m ^2) é
R_{\text{cond}}=\frac{L}{k}.
Aqui:
R_p=\frac{L_p}{k_p}=\frac{0,012}{1,94}\\ \mathrm{\frac{h\cdot m^2\cdot ^\circ C}{kcal}}.
Calculemos:
R_p=\frac{0,012}{1,94}\approx 0{,}006185567\\ \mathrm{\frac{h\cdot m^2\cdot ^\circ C}{kcal}}.
  • Para a cortiça:
R_c=\frac{L_c}{k_c}=\frac{0,025}{0,037}.
Como \dfrac{0,025}{0,037}=\dfrac{25}{37}, temos
R_c\approx 0{,}675675676\\ \mathrm{\frac{h\cdot m^2\cdot ^\circ C}{kcal}}.
  • Resistência de convecção na face externa da cortiça (por m ^2) é
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h}=\frac{1}{10}=0{,}1\\ \mathrm{\frac{h\cdot m^2\cdot ^\circ C}{kcal}}.
  • A resistência total entre a interface e o ar é
R_{\text{total}}=R_c+R_{\mathrm{conv}}=0{,}675675676+0{,}1=0{,}775675676\\ \mathrm{\frac{h\cdot m^2\cdot ^\circ C}{kcal}}.

Passo 4

Cálculo do fluxo de calor \dot{q}'' necessário para manter T_i=50^\circ\mathrm{C}:
  • Usando a relação entre diferença de temperatura e resistência:
\dot{q}''=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{total}}}.
Substituindo valores:
\dot{q}''=\frac{50-25}{0{,}775675676}=\frac{25}{0{,}775675676}.
Para facilitar a precisão observe que R_{\text{total}}=\dfrac{287}{370} (como soma de frações), então
\dot{q}''=\frac{25}{287/370}=25\cdot\frac{370}{287}=\frac{9250}{287}\approx 32{,}236585.
Então, com arredondamento conveniente,
\dot{q}''\approx 32{,}24\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2)}.

Passo 5

Cálculo das temperaturas das superfícies externas:
  • Temperatura da face externa da cortiça (a que troca calor por convecção com o ar):
T_{\text{cortiça,ext}}=T_\infty+\dot{q}''\,R_{\mathrm{conv}}=25+\dot{q}''\cdot 0{,}1.ç
Substituindo \dot{q}''\approx 32{,}236585,
T_{\text{cortiça,ext}}\approx 25+32{,}236585\cdot 0{,}1=25+3{,}2236585\approx 28{,}22^\circ\mathrm{C}.ç
(Verificação alternativa: queda de temperatura através da cortiça é \dot{q}''R_c\approx 32{,}236585\cdot0{,}675675676\approx 21{,}78, então 50-21{,}78\approx28{,}22^\circ\mathrm{C}.)
  • Temperatura da face externa do plástico (onde o calor é aplicado):
T_{\text{plástico,ext}}=T_i+\dot{q}''\,R_p.á
Substituindo:
T_{\text{plástico,ext}}\approx 50+32{,}236585\cdot0{,}006185567\approx 50+0{,}1996\approx 50{,}20^\circ\mathrm{C}.á
Portanto a face externa do plástico fica apenas um pouco mais quente que a interface (como era de esperar: o plástico é fino e tem alta condutividade), e a face externa da cortiça fica bem mais fria, perto de 28{,}22^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) \dot{q}''\approx 32{,}24\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2)}
(b) T_{\text{plástico,ext}}\approx 50{,}20^\circ\mathrm{C},\quad T_{\text{cortiça,ext}}\approx 28{,}22^\circ\mathrm{C}áç

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