• Exercício 4.11. Uma placa de gelo com 10 mm de espessura e 300 mm em cada lado é colocada sobre uma superfície bem isolada. Na superfície superior, a placa está exposta ao ar ambiente em um local onde a temperatura é de 25^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de película seria de
    30 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Desprezando a transferência de calor pelas laterais da placa e supondo que a mistura gelo-água permanece a 0^{\circ} \mathrm{C}, quanto tempo é necessário para a fusão completa da placa? A densidade e o calor latente de fusão do gelo são 935 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e 80,3 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg}, respectivamente.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Espessura da placa: e=10\\ \mathrm{mm}=0,01\\ \mathrm{m}.
    • Lado da placa: L=300\\ \mathrm{mm}=0,30\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=25{,}^\circ\mathrm{C}.
    • A mistura gelo–água permanece em T_s=0{,}^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de película (convecção): h=30\\ \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}}.
    • Densidade do gelo: \rho=935\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}.
    • Calor latente de fusão: L_f=80{,}3\\ \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}}.
  • Suposições do enunciado (já dadas):
    • Transferência de calor pelas laterais é desprezável (apenas superfície superior troca calor).
    • Todo calor recebido na superfície superior é usado para fusão (não há variação de temperatura do sólido — permanece a 0{,}^\circ\mathrm{C}).
  • O que o problema pede:
    • Determinar o tempo necessário para a fusão completa da placa.

Passo 2

Ideia física e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar).
  • Conceito 1 — Taxa de transferência de calor por convecção na superfície superior:
    • A equação de convecção para a taxa de calor que entra na placa é
    \dot{Q}=h\,A\,(T_\infty-T_s),
    onde
    • \dot{Q} é a taxa de calor recebida ( \mathrm{kcal/h}),
    • h é o coeficiente de película ( \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C})),
    • A é a área da superfície exposta ( \mathrm{m}^2),
    • T_\infty é a temperatura do ar ( ^\circ\mathrm{C}),
    • T_s é a temperatura da superfície da placa ( ^\circ\mathrm{C}).
    • No problema, T_\infty-T_s=25-0=25\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Conceito 2 — Quantidade de calor necessária para fundir a placa inteira (energia total):
    • Massa da placa: m=\rho V=\rho A e, onde e é a espessura.
    • Calor total necessário para fusão:
    Q_{\text{req}}=m\,L_f=\rho\,A\,e\,L_f,
    onde L_f é o calor latente de fusão por massa.
  • Conceito 3 — Relação entre energia requerida e taxa fornecida para obter o tempo:
    • Tempo necessário t (horas) satisfaz
    t=\frac{Q_{\text{req}}}{\dot{Q}}.

Passo 3

Montar a expressão para o tempo e simplificar (mostrando que a área cancela).
  • Substituindo as expressões: t=\frac{\rho\,A\,e\,L_f}{h\,A\,(T_\infty-T_s)}.
  • Cancelando A em numerador e denominador (importante: a área não afeta o tempo, desde que toda a superfície superior esteja sujeita à mesma convecção): t=\frac{\rho\,e\,L_f}{h\,(T_\infty-T_s)}.
  • Aqui explicando cada símbolo novamente:
    • \rho: densidade ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3),
    • e: espessura ( \mathrm{m}),
    • L_f: calor latente ( \mathrm{kcal}/\mathrm{kg}),
    • h: coeficiente de convecção ( \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C})),
    • T_\infty-T_s: diferença de temperatura ( ^\circ\mathrm{C}).
  • Observação de unidades: o produto \rho e L_f tem unidades \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot\mathrm{m}\cdot\dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}}=\dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{m}^2}. O denominador h (T_\infty-T_s) tem unidades \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2}. Assim, a razão tem unidades de horas, como desejado.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
  • Valores a usar: \rho=935\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3},\qquad e=0,01\\ \mathrm{m},\qquad L_f=80{,}3\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}},
h=30\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}},\qquad T_\infty-T_s=25\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Calcular o numerador: \rho\,e\,L_f=935\cdot 0{,}01\cdot 80{,}3.Primeiro 0{,}01\cdot 80{,}3=0{,}803. Então 935\cdot 0{,}803=750{,}805\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{m}^2}.
  • Calcular o denominador: h\,(T_\infty-T_s)=30\cdot 25=750\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2}.
  • Agora o tempo: t=\frac{750{,}805}{750}\\ \mathrm{h}=1{,}0010733\\ \mathrm{h}.
  • Converter para minutos: t=1{,}0010733\times 60\\ \mathrm{min}=60{,}0644\\ \mathrm{min}\approx 60{,}06\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Interpretação final e arredondamento (o suficiente para uma prova).
  • O tempo calculado é muito próximo de 1 hora. Arredondando com duas casas decimais em minutos, obtém-se aproximadamente 60{,}06\\ \mathrm{min}, que na prática corresponde a cerca de 60 minutos (1 hora).
  • Observação prática: esse resultado assume que a superfície da placa permanece a 0{,}^\circ\mathrm{C} durante todo o processo e que não há perdas laterais — se essas hipóteses não se mantiverem, o tempo real poderá ser diferente.

Resposta

t \approx 1{,}001\\ \mathrm{h} \approx 60{,}06\\ \mathrm{min}

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