Exercício 14. Represente A \cup B e A \cap B como intervalos quando: Obs. Pode raciocinar graficamente: não é preciso mostrar as contenções neste exercício.
A=(-\infty,-3) e B=[-5,+\infty)

Passo 1

O enunciado pede: representar A \cup B e A \cap B como intervalos, onde foram dados os conjuntos
A = (-\infty, -3)
B = [-5, +\infty).
Informações relevantes: A contém todos os números reais menores que -3 (não inclui -3); B contém todos os números reais maiores ou iguais a -5 (inclui -5). As duas representações pedidas são: a união A\cup B e a interseção A\cap B.

Passo 2

Conceitos básicos (explicação didática e concreta):
  • A interseção A\cap B é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Em linguagem de desigualdades, um número x pertence a A\cap B se e só se satisfaz as condições de A e de B ao mesmo tempo.
  • A união A\cup B é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B (ou a ambos). Ou seja, x\in A\cup B se satisfaz pelo menos uma das condições (de A ou de B).
    Exemplo rápido e simples para fixar: se C=(0,2) e D=[1,3), então C\cap D=(1,2) e C\cup D=(0,3). Repare como tratamos as fronteiras conforme são abertas ou fechadas nas definições.

Passo 3

Interpretação das desigualdades dos conjuntos dados:
  • A=(-\infty,-3) significa: todo x tal que x< -3.
  • B=[-5,+\infty) significa: todo x tal que x\ge -5.
    Observe que -5 < -3. Portanto existe uma faixa comum entre -5 e -3 onde as duas condições podem ser verdadeiras ao mesmo tempo (por exemplo, x=-4 pertence a A e também a B).

Passo 4

Cálculo da interseção A\cap B:
Para x pertencer a A\cap B precisamos de
x< -3 \quad\text{e}\quad x\ge -5.
Essas duas condições juntas podem ser reescritas como
-5 \le x < -3.
Agora sobre inclusão/exclusão dos extremos:
  • O extremo esquerdo -5 está incluído porque B inclui -5 e, além disso, -5< -3 então -5 também pertence a A. Logo -5 pertence à interseção.
  • O extremo direito -3 não está incluído porque A não inclui -3.
    Portanto, em forma de intervalo a interseção é [-5,-3).

Passo 5

Cálculo da união A\cup B:
x\in A\cup B significa x< -3 ou x\ge -5.
Vamos ver que isso cobre todos os reais:
  • Se x< -3, então x\in A.
  • Se x\ge -3, então como -3\ge -5 temos x\ge -5, logo x\in B.
    Assim, qualquer x\in\mathbb{R} é ou menor que -3 (entra por A) ou maior/igual a -3 (então entra por B porque B começa em -5 e vai até +\infty). Logo não sobra nenhum real fora da união: a união abrange todos os números reais.
    Em notação de intervalo, o conjunto de todos os números reais é (-\infty,+\infty).

Resposta

A\cup B = (-\infty,+\infty)
A\cap B = [-5,-3)

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