Exercício 14. Represente
e
como intervalos quando: Obs. Pode raciocinar graficamente: não é preciso mostrar as contenções neste exercício.
e
Passo 1
O enunciado pede: representar
e
como intervalos, onde foram dados os conjuntos
Informações relevantes:
contém todos os números reais menores que
(não inclui
);
contém todos os números reais maiores ou iguais a
(inclui
). As duas representações pedidas são: a união
e a interseção
.
Passo 2
Conceitos básicos (explicação didática e concreta):
- A interseção
é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a e a . Em linguagem de desigualdades, um número pertence a se e só se satisfaz as condições de e de ao mesmo tempo. - A união
é o conjunto dos elementos que pertencem a ou a (ou a ambos). Ou seja, se satisfaz pelo menos uma das condições (de ou de ).
Exemplo rápido e simples para fixar: see , então e . Repare como tratamos as fronteiras conforme são abertas ou fechadas nas definições.
Passo 3
Interpretação das desigualdades dos conjuntos dados:
-
significa: todo tal que . -
significa: todo tal que .
Observe que. Portanto existe uma faixa comum entre e onde as duas condições podem ser verdadeiras ao mesmo tempo (por exemplo, pertence a e também a ).
Passo 4
Cálculo da interseção
:
Para pertencer a
precisamos de
Para
Essas duas condições juntas podem ser reescritas como
Agora sobre inclusão/exclusão dos extremos:
- O extremo esquerdo
está incluído porque inclui e, além disso, então também pertence a . Logo pertence à interseção. - O extremo direito
não está incluído porque não inclui .
Portanto, em forma de intervalo a interseção é.
Passo 5
Cálculo da união
:
significa
ou
.
Vamos ver que isso cobre todos os reais:
Vamos ver que isso cobre todos os reais:
- Se
, então . - Se
, então como temos , logo .
Assim, qualqueré ou menor que (entra por ) ou maior/igual a (então entra por porque começa em e vai até ). Logo não sobra nenhum real fora da união: a união abrange todos os números reais.
Em notação de intervalo, o conjunto de todos os números reais é.