Exercício 14. Represente
e
como intervalos quando: Obs. Pode raciocinar graficamente: não é preciso mostrar as contenções neste exercício.
e
Passo 1
O enunciado pede que eu represente
e
como intervalos, dados:
e
.
As duas perguntas são:
As duas perguntas são:
- Qual é o intervalo que representa
? - Qual é o intervalo que representa
?
Passo 2
Antes de começar, vamos revisar o que significam os tipos de intervalos (bem mastigado):
-
significa todos os números tais que . Os colchetes indicam que os extremos e estão incluídos. -
significa todos os números tais que . Os parênteses indicam que os extremos não estão incluídos. - Há também meios-abertos como
(inclui , não inclui ) e (não inclui , inclui ).
Esses símbolos dizem se cada extremidade pertence ou não ao conjunto.
Passo 3
Também precisamos lembrar, em palavras simples:
-
(união) contém todos os números que estão em ou em (ou em ambos). Visualmente, é toda a região coberta por pelo menos um dos conjuntos. -
(interseção) contém apenas os números que estão em e em ao mesmo tempo. Visualmente, é a parte que os dois conjuntos têm em comum.
Passo 4
Vamos olhar os conjuntos dados (pego do enunciado):
-
: é o segmento do número real que começa em e vai até , incluindo ambos e . -
: é o segmento que começa em e vai até , mas não inclui nem nem .
Passo 5
Encontrando
(interseção), raciocínio passo a passo:
- A interseção é a sobreposição entre os dois segmentos. Olhando para as posições,
vai de até , e esse intervalo está totalmente contido dentro de , que vai de até . - Verificações dos extremos:
pertence a (porque ) mas (porque exclui ); logo não pertence à interseção. Mesmo raciocínio para : mas , então também não pertence à interseção. - Como todos os pontos entre
e estão em e esses mesmos pontos também estão em , a interseção é exatamente o próprio . Portanto
Passo 6
Encontrando
(união), raciocínio passo a passo:
- A união é toda a região coberta por
ou . Como percebido, está inteiramente dentro de (todos os pontos de também pertencem a ). - Quando um conjunto está contido em outro, a união é simplesmente o conjunto maior. Aqui, o maior é
. - Então
Passo 7
Resumo intuitivo (dica para prova): se um intervalo está totalmente dentro do outro, a interseção é o menor (o contido) e a união é o maior (o que contém). Sempre verifique inclusão dos extremos para decidir colchetes ou parênteses.