Exercício 14. Represente A \cup B e A \cap B como intervalos quando: Obs. Pode raciocinar graficamente: não é preciso mostrar as contenções neste exercício.
A=[-2,8] e B=(-1,4)

Passo 1

O enunciado pede que eu represente A \cup B e A \cap B como intervalos, dados:
A=[-2,8] e B=(-1,4).
As duas perguntas são:
  1. Qual é o intervalo que representa A \cup B?
  2. Qual é o intervalo que representa A \cap B?

Passo 2

Antes de começar, vamos revisar o que significam os tipos de intervalos (bem mastigado):
  • [a,b] significa todos os números x tais que a \le x \le b. Os colchetes indicam que os extremos a e b estão incluídos.
  • (a,b) significa todos os números x tais que a < x < b. Os parênteses indicam que os extremos não estão incluídos.
  • Há também meios-abertos como [a,b) (inclui a, não inclui b) e (a,b] (não inclui a, inclui b).
    Esses símbolos dizem se cada extremidade pertence ou não ao conjunto.

Passo 3

Também precisamos lembrar, em palavras simples:
  • A \cup B (união) contém todos os números que estão em A ou em B (ou em ambos). Visualmente, é toda a região coberta por pelo menos um dos conjuntos.
  • A \cap B (interseção) contém apenas os números que estão em A e em B ao mesmo tempo. Visualmente, é a parte que os dois conjuntos têm em comum.

Passo 4

Vamos olhar os conjuntos dados (pego do enunciado):
  • A=[-2,8]: é o segmento do número real que começa em -2 e vai até 8, incluindo ambos -2 e 8.
  • B=(-1,4): é o segmento que começa em -1 e vai até 4, mas não inclui nem -1 nem 4.

Passo 5

Encontrando A \cap B (interseção), raciocínio passo a passo:
  • A interseção é a sobreposição entre os dois segmentos. Olhando para as posições, B vai de -1 até 4, e esse intervalo está totalmente contido dentro de A, que vai de -2 até 8.
  • Verificações dos extremos: -1 pertence a A (porque -1\in[-2,8]) mas -1\notin B (porque B exclui -1); logo -1 não pertence à interseção. Mesmo raciocínio para 4: 4\in A mas 4\notin B, então 4 também não pertence à interseção.
  • Como todos os pontos entre -1 e 4 estão em B e esses mesmos pontos também estão em A, a interseção é exatamente o próprio B. Portanto
A \cap B = (-1,4).

Passo 6

Encontrando A \cup B (união), raciocínio passo a passo:
  • A união é toda a região coberta por A ou B. Como percebido, B está inteiramente dentro de A (todos os pontos de B também pertencem a A).
  • Quando um conjunto está contido em outro, a união é simplesmente o conjunto maior. Aqui, o maior é A=[-2,8].
  • Então
A \cup B = [-2,8].

Passo 7

Resumo intuitivo (dica para prova): se um intervalo está totalmente dentro do outro, a interseção é o menor (o contido) e a união é o maior (o que contém). Sempre verifique inclusão dos extremos para decidir colchetes ou parênteses.

Resposta

A \cup B = [-2,8]
A \cap B = (-1,4)

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