Exercício 14. Resolva as seguintes equações trigonométricas:
\cos 2 x-\cos ^{2} x=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
\cos 2x - \cos^{2} x = 0.
Informações dadas: a equação envolve as funções trigonométricas \cos 2x e \cos x. A incógnita é x e queremos achar todas as soluções (a solução geral), isto é, todos os valores de x que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade trigonométrica muito útil que relaciona \cos 2x com \cos^{2}x. A identidade é
\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1.
Explicando: essa fórmula vem das fórmulas de soma de ângulos ou das fórmulas de redução de potência. Ela expressa o cosseno do dobro de um ângulo em função do quadrado do cosseno do ângulo. Aqui \cos^{2}x significa (\cos x)^{2}.

Passo 3

Substituímos a identidade na equação original. Trocando \cos 2x por 2\cos^{2}x - 1, obtemos
2\cos^{2}x - 1 - \cos^{2}x = 0.
Agora a equação é algébrica em \cos^{2}x, mais simples de manipular.

Passo 4

Simplificamos os termos semelhantes na equação do passo anterior:
2\cos^{2}x - \cos^{2}x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \cos^{2}x - 1 = 0.
Isto é uma equação quadrática em \cos x, mas já reduzida.

Passo 5

Resolvendo \cos^{2}x - 1 = 0 temos
\cos^{2}x = 1.
Agora passamos a raiz quadrada: \cos^{2}x=1 implica \cos x = 1 ou \cos x = -1. (Lembre-se: quando tiramos raiz de ambos os lados de y^2=1 obtemos y=\pm 1.)

Passo 6

Vamos resolver separadamente as duas equações obtidas.
  1. Se \cos x = 1, sabemos que o cosseno vale 1 nos ângulos que são múltiplos inteiros de 2\pi. Logo
x = 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
  1. Se \cos x = -1, o cosseno vale -1 nos ângulos que são \pi mais múltiplos inteiros de 2\pi. Logo
x = \pi + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Podemos juntar as duas famílias de soluções. Observando que 2\pi n e \pi + 2\pi n são exatamente todos os múltiplos inteiros de \pi, podemos escrever a solução geral de forma compacta como
x = \pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Isto cobre tanto os casos com cosseno 1 (quando k é par) quanto com cosseno -1 (quando k é ímpar).

Passo 8

Checagem rápida: tomar x=\pi k e calcular \cos 2x - \cos^{2}x.
Se x=\pi k então 2x=2\pi k e \cos 2x = 1. Também \cos x = \cos(\pi k)=\pm1, logo \cos^{2}x=1. Assim \cos 2x-\cos^{2}x=1-1=0, verifica-se que todas essas escolhas funcionam.

Resposta

x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}

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