Exercício 14. Resolva as seguintes equações trigonométricas:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
Informações dadas: a equação envolve as funções trigonométricas
e
. A incógnita é
e queremos achar todas as soluções (a solução geral), isto é, todos os valores de
que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Vamos lembrar uma identidade trigonométrica muito útil que relaciona
com
. A identidade é
Explicando: essa fórmula vem das fórmulas de soma de ângulos ou das fórmulas de redução de potência. Ela expressa o cosseno do dobro de um ângulo em função do quadrado do cosseno do ângulo. Aqui
significa
.
Passo 3
Substituímos a identidade na equação original. Trocando
por
, obtemos
Agora a equação é algébrica em
, mais simples de manipular.
Passo 4
Simplificamos os termos semelhantes na equação do passo anterior:
Isto é uma equação quadrática em
, mas já reduzida.
Passo 5
Resolvendo
temos
Agora passamos a raiz quadrada:
implica
ou
. (Lembre-se: quando tiramos raiz de ambos os lados de
obtemos
.)
Passo 6
Vamos resolver separadamente as duas equações obtidas.
- Se
, sabemos que o cosseno vale nos ângulos que são múltiplos inteiros de . Logo
- Se
, o cosseno vale nos ângulos que são mais múltiplos inteiros de . Logo
Passo 7
Podemos juntar as duas famílias de soluções. Observando que
e
são exatamente todos os múltiplos inteiros de
, podemos escrever a solução geral de forma compacta como
Isto cobre tanto os casos com cosseno
(quando
é par) quanto com cosseno
(quando
é ímpar).
Passo 8
Checagem rápida: tomar
e calcular
.
Se então
e
. Também
, logo
. Assim
, verifica-se que todas essas escolhas funcionam.
Se