Exercício 14. Resolva as seguintes equações trigonométricas:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
Informações dadas:
O objetivo é encontrar todas as soluções reais
(a solução geral, com parâmetro inteiro).
Passo 2
Vamos usar a identidade de soma de ângulos para
. Lembra que
Mas aqui é mais prático usar a identidade de deslocamento em torno de
. Sabemos que
porque
. Aplicando isso aos dois lados com
e
, obtemos
Cancelando o fator
(que é não nulo), ficamos com
Passo 3
Agora usamos as identidades que transformam soma/diferença de cosseno e seno em uma única função com deslocamento de fase:
Aplicando essas identidades ao que temos:
Cancelando
,
Passo 4
Para simplificar, fazemos a substituição
Então
.
A equação fica
A equação fica
Usamos a identidade
. Logo
ou
Passo 5
Agora usamos a fórmula do cosseno de triplo ângulo:
Substituindo na equação:
ou
Fatorando:
Passo 6
As soluções desta equação surgem de dois casos:
Caso A:
. Então
Caso B:
.
- Se
, então
- Se
, então
Passo 7
Voltamos para [x) usando
, ou seja
, então
.
Transformando cada família:
- Caso A:
dá
-
Caso B1 (
): . Calculando os termos:Logo as subfamílias são -
Caso B2 ( .Calculando os termos:Assim
]
Passo 8
Resumo e verificação rápida (ex.:
dá
e
, funciona). As transformações não introduziram divisões por zero nem passos inválidos, logo as famílias acima são todas as soluções.