Exercício 14. Resolva as seguintes equações trigonométricas:
\operatorname{sen}(\pi / 4+3 x / 2)=2 \operatorname{sen}(\pi / 4-x / 2).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}\right)=2\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right).
Informações dadas:
\text{igualdade entre duas funções trigonométricas em }x.çõé
O objetivo é encontrar todas as soluções reais x (a solução geral, com parâmetro inteiro).

Passo 2

Vamos usar a identidade de soma de ângulos para \operatorname{sen}(A+B). Lembra que
\operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen}A\cos B+\cos A\operatorname{sen}B.
Mas aqui é mais prático usar a identidade de deslocamento em torno de \pi/4. Sabemos que
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}+t\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\big(\cos t+\operatorname{sen}t\big)
porque \operatorname{sen}\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Aplicando isso aos dois lados com t=\frac{3x}{2} e t=-\frac{x}{2}, obtemos
\frac{\sqrt{2}}{2}\big(\cos\!\tfrac{3x}{2}+\operatorname{sen}\!\tfrac{3x}{2}\big) =2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\big(\cos\!\tfrac{x}{2}-\operatorname{sen}\!\tfrac{x}{2}\big).
Cancelando o fator \frac{\sqrt{2}}{2} (que é não nulo), ficamos com
\cos\!\tfrac{3x}{2}+\operatorname{sen}\!\tfrac{3x}{2}=2\cos\!\tfrac{x}{2}-2\operatorname{sen}\!\tfrac{x}{2}.

Passo 3

Agora usamos as identidades que transformam soma/diferença de cosseno e seno em uma única função com deslocamento de fase:
\cos t+\operatorname{sen}t=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\left(t+\frac{\pi}{4}\right), \qquad \cos t-\operatorname{sen}t=\sqrt{2}\,\cos\!\left(t+\frac{\pi}{4}\right).
Aplicando essas identidades ao que temos:
\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3x}{2}+\tfrac{\pi}{4}\right)=2\sqrt{2}\,\cos\!\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{\pi}{4}\right).
Cancelando \sqrt{2},
\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{3x}{2}+\tfrac{\pi}{4}\right)=2\cos\!\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{\pi}{4}\right).

Passo 4

Para simplificar, fazemos a substituição
y=\tfrac{x}{2}+\tfrac{\pi}{4}.
Então \tfrac{3x}{2}+\tfrac{\pi}{4}=3\!\left(\tfrac{x}{2}\right)+\tfrac{\pi}{4}=3\big(y-\tfrac{\pi}{4}\big)+\tfrac{\pi}{4}=3y-\tfrac{\pi}{2}.
A equação fica
\operatorname{sen}\!\left(3y-\tfrac{\pi}{2}\right)=2\cos y.
Usamos a identidade \operatorname{sen}(u-\tfrac{\pi}{2})=-\cos u. Logo
-\cos(3y)=2\cos y
ou
\cos(3y)+2\cos y=0.

Passo 5

Agora usamos a fórmula do cosseno de triplo ângulo:
\cos(3y)=4\cos^3 y-3\cos y.
Substituindo na equação:
4\cos^3 y-3\cos y+2\cos y=0
ou
4\cos^3 y-\cos y=0.
Fatorando:
\cos y\,(4\cos^2 y-1)=0.

Passo 6

As soluções desta equação surgem de dois casos:
Caso A: \cos y=0. Então
y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Caso B: 4\cos^2 y-1=0\Rightarrow\cos^2 y=\frac{1}{4}\Rightarrow\cos y=\pm\frac{1}{2}.
  • Se \cos y=\frac{1}{2}, então
y=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Se \cos y=-\frac{1}{2}, então
y=2k\pi\pm\frac{2\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Voltamos para [x) usando y=\tfrac{x}{2}+\tfrac{\pi}{4}, ou seja \tfrac{x}{2}=y-\tfrac{\pi}{4}, então x=2y-\tfrac{\pi}{2}.
Transformando cada família:
  • Caso A: y=\tfrac{\pi}{2}+k\pi
x=2\!\left(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right)-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi.
  • Caso B1 ( \cos y=\tfrac{1}{2}): y=2k\pi\pm\tfrac{\pi}{3}.
    x=2\!\left(2k\pi\pm\tfrac{\pi}{3}\right)-\tfrac{\pi}{2}=4k\pi\pm\tfrac{2\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2}.
    Calculando os termos:
    \pm\tfrac{2\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2}= \begin{cases} +\tfrac{2\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{4\pi-3\pi}{6}=\tfrac{\pi}{6},\\[4pt] -\tfrac{2\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2}=-\tfrac{4\pi+3\pi}{6}=-\tfrac{7\pi}{6}. \end{cases}
    Logo as subfamílias são
    x=4k\pi+\tfrac{\pi}{6},\qquad x=4k\pi-\tfrac{7\pi}{6},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Caso B2 ( \cos y=-\tfrac{1}{2}\]): \(y=2k\pi\pm\tfrac{2\pi}{3}.
    x=2\!\left(2k\pi\pm\tfrac{2\pi}{3}\right)-\tfrac{\pi}{2}=4k\pi\pm\tfrac{4\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2}.
    Calculando os termos:
    \pm\tfrac{4\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2}= \begin{cases} +\tfrac{4\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{8\pi-3\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6},\\[4pt] -\tfrac{4\pi}{3}-\tfrac{\pi}{2}=-\tfrac{8\pi+3\pi}{6}=-\tfrac{11\pi}{6}. \end{cases}
    Assim
    x=4k\pi+\tfrac{5\pi}{6},\qquad x=4k\pi-\tfrac{11\pi}{6},\qquad k\in\mathbb{Z}.]

Passo 8

Resumo e verificação rápida (ex.: x=\tfrac{\pi}{2} \operatorname{sen}(\pi)=0 e 2\operatorname{sen}(0)=0, funciona). As transformações não introduziram divisões por zero nem passos inválidos, logo as famílias acima são todas as soluções.

Resposta

x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}
x=4k\pi+\tfrac{\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}
x=4k\pi-\tfrac{7\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}
x=4k\pi+\tfrac{5\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}
x=4k\pi-\tfrac{11\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}

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